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Physique quantique : Fondements
et Θ
2 = I si j est entier, Θ
2 = −I si j est demi-entier. La dégénérescence
de Kramers entraîne alors qu’un système avec un nombre impair d’électrons
possède des niveaux d’énergie doublement dégénérés en l’absence de champ
magnétique. La présence d’un champ magnétique brise l’invariance par renversement du sens du temps, car pour respecter cette invariance, il faudrait
inverser le sens des courants qui produisent ce champ : la raison pour laquelle
l’effet Zeeman lève complètement la dégénérescence des niveaux est que le
champ magnétique brise l’invariance par renversement du temps.
Pour un élément de matrice T (§ 13.5.4), T ba = T a→b , l’invariance par
renversement du temps implique la relation
T a→b = T Θb→Θa
(A.23)
où Θa (Θb), est l’état obtenu à partir de a (b) par renversement du temps,
en inversant toutes les impulsions et tous les moments angulaires. Nous en
déduisons par exemple la relation pour un élément de matrice T dans le cas
de la diffusion de particules de spin zéro
T ( k b , k a )=T (− k a , − k b )
Plus généralement, pour une réaction où les particules incidentes ont des impulsions ( p 1 ,, p 2 ) et des projections de leurs spins (m 1 ,m 2 ), tandis que les
particules finales sont caractérisées par ( p 3 ,, p 4 ) et (m 3 ,m 4 ),o no b t i e n t
T m3m4;m1,m2 ( p 1 +
p 2 →
p 3 +
p 4 )=T −m1−m2;−m3,−m4 (− p 3 − p 4 →− p 1 −
p 2 )
Pour une particule sans spin, l’opération de renversement du temps est
simplement la conjugaison complexe. En effet, si ψ( r, t) vérifie l’équation de
Schrödinger
i
∂ψ( r, t)
∂t
= −
2
2m
∇
2 ψ( r, t)+V ( r)ψ( r, t)
la fonction [Θψ]( r, t)=ψ
∗ ( r, −t) vérifie
i
∂ψ
∗ ( r, −t)
∂t
= −
2
2m
∇
2 ψ
∗ ( r, −t)+V ( r)ψ
∗ ( r, −t)
pourvu que le potentiel V ( r) soit réel. Cette propriété a été utilisée au § 8.3.4
pour restreindre la forme de la matrice de passage M et de la matrice S.
Dans le cas général, on peut écrire Θ=UK,o ùK est la conjugaison
complexe
[Kψ]( r, t)=ψ
∗ ( r, −t)
(A.24)
et U un opérateur unitaire. L’action de K, par exemple, dans le cas d’une
onde plane s’écrit
K
e
i( k· r−ωt)
= e
−i( k· r+ωt) = e
−i k· r e
−iωt
Physique quantique : Fondements
et Θ
2 = I si j est entier, Θ
2 = −I si j est demi-entier. La dégénérescence
de Kramers entraîne alors qu’un système avec un nombre impair d’électrons
possède des niveaux d’énergie doublement dégénérés en l’absence de champ
magnétique. La présence d’un champ magnétique brise l’invariance par renversement du sens du temps, car pour respecter cette invariance, il faudrait
inverser le sens des courants qui produisent ce champ : la raison pour laquelle
l’effet Zeeman lève complètement la dégénérescence des niveaux est que le
champ magnétique brise l’invariance par renversement du temps.
Pour un élément de matrice T (§ 13.5.4), T ba = T a→b , l’invariance par
renversement du temps implique la relation
T a→b = T Θb→Θa
(A.23)
où Θa (Θb), est l’état obtenu à partir de a (b) par renversement du temps,
en inversant toutes les impulsions et tous les moments angulaires. Nous en
déduisons par exemple la relation pour un élément de matrice T dans le cas
de la diffusion de particules de spin zéro
T ( k b , k a )=T (− k a , − k b )
Plus généralement, pour une réaction où les particules incidentes ont des impulsions ( p 1 ,, p 2 ) et des projections de leurs spins (m 1 ,m 2 ), tandis que les
particules finales sont caractérisées par ( p 3 ,, p 4 ) et (m 3 ,m 4 ),o no b t i e n t
T m3m4;m1,m2 ( p 1 +
p 2 →
p 3 +
p 4 )=T −m1−m2;−m3,−m4 (− p 3 − p 4 →− p 1 −
p 2 )
Pour une particule sans spin, l’opération de renversement du temps est
simplement la conjugaison complexe. En effet, si ψ( r, t) vérifie l’équation de
Schrödinger
i
∂ψ( r, t)
∂t
= −
2
2m
∇
2 ψ( r, t)+V ( r)ψ( r, t)
la fonction [Θψ]( r, t)=ψ
∗ ( r, −t) vérifie
i
∂ψ
∗ ( r, −t)
∂t
= −
2
2m
∇
2 ψ
∗ ( r, −t)+V ( r)ψ
∗ ( r, −t)
pourvu que le potentiel V ( r) soit réel. Cette propriété a été utilisée au § 8.3.4
pour restreindre la forme de la matrice de passage M et de la matrice S.
Dans le cas général, on peut écrire Θ=UK,o ùK est la conjugaison
complexe
[Kψ]( r, t)=ψ
∗ ( r, −t)
(A.24)
et U un opérateur unitaire. L’action de K, par exemple, dans le cas d’une
onde plane s’écrit
K
e
i( k· r−ωt)
= e
−i( k· r+ωt) = e
−i k· r e
−iωt