Annexes
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et à tout vecteur propre ϕ E de H d’énergie E correspondrait un vecteur propre
Θϕ E avec une énergie −E. Dans ces conditions, l’énergie ne serait pas bornée
inférieurement et il existerait une instabilité fondamentale. Si au contraire Θ
est antiunitaire, grâce à
ΘiH = −iΘH
l’équation (A.18) implique
Θ H = H Θo uΘ H Θ
−1 = H
(A.19)
Cette dernière équation traduit l’invariance de H par renversement du sens
du temps. Cependant, contrairement à l’opérateur parité Π, Θ ne conduit pas
à une grandeur conservée, car l’équation (7.17) implique que l’opérateur A
soit hermitien, ce qui n’est pas le cas de Θ. On sait aujourd’hui que toutes les
interactions fondamentales de la physique sont invariantes par renversement
du temps, sauf une interaction extrêmement faible, dont on ne voit les effets
que dans le système de mésons K
0 − K 0 (exercice 4.4.10), et que l’on a aussi
observée tout récemment dans le système de mésons B,f o r m é sd ’ u nq u a r k
ordinaire et d’un antiquark b (ou l’inverse).
Un double renversement du temps n’a évidemment aucun effet, et l’état
Θ
2 ϕ est équivalent à ϕ, Θ
2 = cI,o ùc est un facteur de phase. La chaîne
d’égalités
(Θϕ a ,ϕ b )=(Θϕ b , Θ
2 ϕ a )=c(Θϕ b ,ϕ a )=c(Θϕ a , Θ
2 ϕ b )=c
2 (Θϕ a ,ϕ b )
montre que c
2 =1,e td o n cc = ±1. Dans le cas où c = −1,l ec h o i xϕ a = ϕ b
dans l’équation précédente entraîne
(Θϕ a ,ϕ a )=0
(A.20)
Si c = −1 et que H est invariant par renversement du temps, les états propres
de H peuvent être rangés en paires d’états dégénérés par renversement du
temps. Soit en effet ϕ, un vecteur propre de H : Hϕ = Eϕ.A l o r s ,
H(Θϕ)=Θ(Hϕ)=E(Θϕ)
et Θϕ est vecteur propre de H avec la valeur propre E :s i(Θϕ, ϕ)=0 ,i l
existe (au moins) deux états propres de H avec la valeur propre E.C e t t e
propriété est appelée dégénérescence de Kramers.
Compte tenu des propriétés de transformation de
J (A.17), on doit avoir
Θ|jm = e
iα (−1)
j−m |j, −m
(A.21)
où, par application de J + et de J − ,onmon trequeα peut dépendre de j,mais
non de m. On en déduit, en utilisant l’antilinéarité de Θ
Θ
2 |jm =(−1)
2j |jm
(A.22)
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et à tout vecteur propre ϕ E de H d’énergie E correspondrait un vecteur propre
Θϕ E avec une énergie −E. Dans ces conditions, l’énergie ne serait pas bornée
inférieurement et il existerait une instabilité fondamentale. Si au contraire Θ
est antiunitaire, grâce à
ΘiH = −iΘH
l’équation (A.18) implique
Θ H = H Θo uΘ H Θ
−1 = H
(A.19)
Cette dernière équation traduit l’invariance de H par renversement du sens
du temps. Cependant, contrairement à l’opérateur parité Π, Θ ne conduit pas
à une grandeur conservée, car l’équation (7.17) implique que l’opérateur A
soit hermitien, ce qui n’est pas le cas de Θ. On sait aujourd’hui que toutes les
interactions fondamentales de la physique sont invariantes par renversement
du temps, sauf une interaction extrêmement faible, dont on ne voit les effets
que dans le système de mésons K
0 − K 0 (exercice 4.4.10), et que l’on a aussi
observée tout récemment dans le système de mésons B,f o r m é sd ’ u nq u a r k
ordinaire et d’un antiquark b (ou l’inverse).
Un double renversement du temps n’a évidemment aucun effet, et l’état
Θ
2 ϕ est équivalent à ϕ, Θ
2 = cI,o ùc est un facteur de phase. La chaîne
d’égalités
(Θϕ a ,ϕ b )=(Θϕ b , Θ
2 ϕ a )=c(Θϕ b ,ϕ a )=c(Θϕ a , Θ
2 ϕ b )=c
2 (Θϕ a ,ϕ b )
montre que c
2 =1,e td o n cc = ±1. Dans le cas où c = −1,l ec h o i xϕ a = ϕ b
dans l’équation précédente entraîne
(Θϕ a ,ϕ a )=0
(A.20)
Si c = −1 et que H est invariant par renversement du temps, les états propres
de H peuvent être rangés en paires d’états dégénérés par renversement du
temps. Soit en effet ϕ, un vecteur propre de H : Hϕ = Eϕ.A l o r s ,
H(Θϕ)=Θ(Hϕ)=E(Θϕ)
et Θϕ est vecteur propre de H avec la valeur propre E :s i(Θϕ, ϕ)=0 ,i l
existe (au moins) deux états propres de H avec la valeur propre E.C e t t e
propriété est appelée dégénérescence de Kramers.
Compte tenu des propriétés de transformation de
J (A.17), on doit avoir
Θ|jm = e
iα (−1)
j−m |j, −m
(A.21)
où, par application de J + et de J − ,onmon trequeα peut dépendre de j,mais
non de m. On en déduit, en utilisant l’antilinéarité de Θ
Θ
2 |jm =(−1)
2j |jm
(A.22)