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Physique quantique : Fondements
Revenons à la mécanique quantique, en appelant Θ l’opérateur qui réalise le
renversement du temps dans H. Cet opérateur doit transformer
R,
P et
J
suivant
Θ
R Θ
−1 =
R
Θ
P Θ
−1 = −
P
(A.17)
Θ
J Θ
−1 = −
J
En effet,
J doit se transformer comme
R ×
P , qui est impair par renversement
du temps : le moment angulaire définit un sens de rotation qui est inversé par
renversement du temps. L’examen de la transformation par Θ des relations
de commutation canoniques montre que Θ doit être antiunitaire. Calculons
de deux façons différentes un élément de matrice du commutateur [X i ,P j ]=
i δ ij I
(Θϕ, Θ[X i ,P j ]ψ)=( Θ ϕ, Θi δ ij Iψ)=δ ij (ϕ, i ψ)
∗ = −i δ ij (ϕ, ψ)
∗
=( Θ ϕ, Θ[X i ,P j ]Θ
−1 Θψ)
=( Θ ϕ, −iδ ij IΘψ)=−iδ ij (ϕ, ψ)
∗
où nous avons utilisé dans la seconde ligne les lois de transformation (A.17)
de X i et P j
Θ[X i ,P j ]Θ
−1 = −[X i ,P j ]
Les deux lignes de l’équation précédente sont compatibles, ce qui ne serait pas
le cas si la transformation Θ était unitaire.
Il existe un autre argument très instructif prouvant le caractère antiunitaire de Θ.S o i tϕ(t), le vecteur d’état d’un système quantique au temps t,
ϕ = ϕ(t =0)s o né t a ta ut e m p st =0
ϕ(t)=exp
−
i
Ht
ϕ
L’invariance par rapport au renversement du temps implique que l’état transformé de ϕ(−t) par renversement du temps, Θϕ(−t), coïncide avec l’état obtenu par évolution temporelle de Θϕ(t =0)
Θϕ(−t)=exp
−
i
Ht
Θϕ
et comme les équations sont valables pour tout ϕ
Θexp
i
Ht
=exp
−
i
Ht
Θ
(A.18)
Si Θ était unitaire, cela impliquerait que
ΘH = −HΘ
Physique quantique : Fondements
Revenons à la mécanique quantique, en appelant Θ l’opérateur qui réalise le
renversement du temps dans H. Cet opérateur doit transformer
R,
P et
J
suivant
Θ
R Θ
−1 =
R
Θ
P Θ
−1 = −
P
(A.17)
Θ
J Θ
−1 = −
J
En effet,
J doit se transformer comme
R ×
P , qui est impair par renversement
du temps : le moment angulaire définit un sens de rotation qui est inversé par
renversement du temps. L’examen de la transformation par Θ des relations
de commutation canoniques montre que Θ doit être antiunitaire. Calculons
de deux façons différentes un élément de matrice du commutateur [X i ,P j ]=
i δ ij I
(Θϕ, Θ[X i ,P j ]ψ)=( Θ ϕ, Θi δ ij Iψ)=δ ij (ϕ, i ψ)
∗ = −i δ ij (ϕ, ψ)
∗
=( Θ ϕ, Θ[X i ,P j ]Θ
−1 Θψ)
=( Θ ϕ, −iδ ij IΘψ)=−iδ ij (ϕ, ψ)
∗
où nous avons utilisé dans la seconde ligne les lois de transformation (A.17)
de X i et P j
Θ[X i ,P j ]Θ
−1 = −[X i ,P j ]
Les deux lignes de l’équation précédente sont compatibles, ce qui ne serait pas
le cas si la transformation Θ était unitaire.
Il existe un autre argument très instructif prouvant le caractère antiunitaire de Θ.S o i tϕ(t), le vecteur d’état d’un système quantique au temps t,
ϕ = ϕ(t =0)s o né t a ta ut e m p st =0
ϕ(t)=exp
−
i
Ht
ϕ
L’invariance par rapport au renversement du temps implique que l’état transformé de ϕ(−t) par renversement du temps, Θϕ(−t), coïncide avec l’état obtenu par évolution temporelle de Θϕ(t =0)
Θϕ(−t)=exp
−
i
Ht
Θϕ
et comme les équations sont valables pour tout ϕ
Θexp
i
Ht
=exp
−
i
Ht
Θ
(A.18)
Si Θ était unitaire, cela impliquerait que
ΘH = −HΘ