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Physique quantique : Fondements
Par un choix convenable des phases, la transformation T peut être choisie
linéaire, et comme elle conserve le module du produit scalaire, elle est aussi
unitaire : T → U avec U
† U = UU
† = I.
Dans le second cas, on redéfinit la phase de ψ
′
de telle sorte que c
′
1 = c
∗
1 .
On a alors c
′
j = c
∗
j et
ψ
′ =
k
c
∗
k χ
′
k
Le transformé de λψ + µη est alors
(λψ + µη)
′ =
k
(λc k + µd k )χ k
′
= λ
∗ ψ
′ + µ
∗ η
′
(A.14)
et la loi de transformation du produit scalaire est
(ψ
′ ,η
′ )=(ψ, η)
∗ =(η, ψ)
(A.15)
La transformation T → V ,o ùV est dite antiunitaire : elle est antilinéaire et
conserve la norme.
La démonstration précédente est en fait, incomplète : en effet, il faudrait
montrer que l’on ne peut pas avoir (A.12) pour c j et (A.13) pour c l ,l = j.
La vérification que ceci ne peut pas se produire est fastidieuse et laissée au
lecteur
1 : il faut examiner le comportement du transformé d’un vecteur ψ =
χ 1 + χ j + χ l .
A.2 Renversement du sens du temps
En mécanique classique, l’équation de Newton
m
d
2 r(t)
dt 2 =
F ( r(t))
est invariante par renversement du sens du temps t →− t. Posons en effet
r
′ (t)= r(−t)
m
d
2 r
′ (t)
dt 2 = m
d
2 r(−t)
dt 2 =
F ( r(−t)) =
F ( r
′ (t))
On constate que r
′ (t) obéit bien aux équations de Newton. La raison
en est évidemment que ces équations ne dépendent que de la dérivée seconde par rapport au temps de r et pas de la dérivée première
2 .U n e
1. Voir Weinberg [1995], chapitre 2, qui détaille toutes les subtilités de la preuve.
2. Une équation du type oscillateur harmonique amorti
m¨ x + γ ˙
x + mω
2 x =0
n’est pas invariante par renversement du sens du temps, mais la force de viscosité −γ ˙
x est
une force effective, représentant phénoménologiquement l’effet des collisions des molécules
du fluide sur la particule de masse m.
Physique quantique : Fondements
Par un choix convenable des phases, la transformation T peut être choisie
linéaire, et comme elle conserve le module du produit scalaire, elle est aussi
unitaire : T → U avec U
† U = UU
† = I.
Dans le second cas, on redéfinit la phase de ψ
′
de telle sorte que c
′
1 = c
∗
1 .
On a alors c
′
j = c
∗
j et
ψ
′ =
k
c
∗
k χ
′
k
Le transformé de λψ + µη est alors
(λψ + µη)
′ =
k
(λc k + µd k )χ k
′
= λ
∗ ψ
′ + µ
∗ η
′
(A.14)
et la loi de transformation du produit scalaire est
(ψ
′ ,η
′ )=(ψ, η)
∗ =(η, ψ)
(A.15)
La transformation T → V ,o ùV est dite antiunitaire : elle est antilinéaire et
conserve la norme.
La démonstration précédente est en fait, incomplète : en effet, il faudrait
montrer que l’on ne peut pas avoir (A.12) pour c j et (A.13) pour c l ,l = j.
La vérification que ceci ne peut pas se produire est fastidieuse et laissée au
lecteur
1 : il faut examiner le comportement du transformé d’un vecteur ψ =
χ 1 + χ j + χ l .
A.2 Renversement du sens du temps
En mécanique classique, l’équation de Newton
m
d
2 r(t)
dt 2 =
F ( r(t))
est invariante par renversement du sens du temps t →− t. Posons en effet
r
′ (t)= r(−t)
m
d
2 r
′ (t)
dt 2 = m
d
2 r(−t)
dt 2 =
F ( r(−t)) =
F ( r
′ (t))
On constate que r
′ (t) obéit bien aux équations de Newton. La raison
en est évidemment que ces équations ne dépendent que de la dérivée seconde par rapport au temps de r et pas de la dérivée première
2 .U n e
1. Voir Weinberg [1995], chapitre 2, qui détaille toutes les subtilités de la preuve.
2. Une équation du type oscillateur harmonique amorti
m¨ x + γ ˙
x + mω
2 x =0
n’est pas invariante par renversement du sens du temps, mais la force de viscosité −γ ˙
x est
une force effective, représentant phénoménologiquement l’effet des collisions des molécules
du fluide sur la particule de masse m.