Annexes
473
Nous avons donc défini une application sur des vecteurs de H
χ 1 + χ j → (χ 1 + χ j )
′ = χ
′
1 + χ
′
j
telle que χ
′
1 ∈ T ˜
χ 1 , χ
′
j ∈ T ˜
χ j et χ
′
1 + χ
′
j ∈ T
(χ 1 + χ j ). Essayons maintenant
de déterminer s’il est possible qu’un vecteur arbitraire ψ se transforme suivant
ψ =
N
k=1
c k χ k → ψ
′ =
N
k=1
c
′
k χ
′
k
Si une telle loi de transformation est valide, nous devons avoir, d’une part,
|c
′
k | = |(χ
′
k ,ψ
′ )| = |(χ k ,ψ)| = |c k |
et, d’autre part,
(χ 1 + χ j ,ψ)=c 1 + c j
(χ
′
1 + χ
′
j ,ψ
′ )=c
′
1 + c
′
j
ce qui implique, d’après (A.3), que
|c 1 + c j | = |c
′
1 + c
′
j |
(A.10)
Les deux couples de nombres complexes (c 1 ,c j ) et (c
′
1 ,c
′
j ) doivent être tels
que |c 1 | = |c
′
1 | et |c j | = |c
′
j | et de plus vérifier (A.10). Posons
c 1 = |c 1 | e
iθ1
c j = |c j | e
iθj
c
′
1 = |c
′
1 | e
iθ
′
1
c
′
j = |c
′
j | e
iθ
′
j
Les angles (θ 1 ,θ j ) et (θ
′
1 ,θ
′
j ) sont liés par l’équation
cos(θ 1 − θ j )=cos(θ
′
1 − θ
′
j )
(A.11)
qui a deux solutions
θ 1 − θ j = θ
′
1 − θ
′
j
(A.12)
θ 1 − θ j = −(θ
′
1 − θ
′
j )
(A.13)
Examinons le premier cas. On peut redéfinir la phase de ψ
′
de telle sorte que
c
′
1 = c 1 et donc θ
′
1 = θ 1 . Dans ce cas, θ
′
j = θ j et c
′
j = c j
ψ
′ =
k
c k χ
′
k
Si l’on considère un autre vecteur η =
k d k χ k avec à nouveau d
′
1 = d 1 ,o n
aura
(λψ + µη)
′ =
k
(λc k + µd k )χ
′
k = λψ
′ + µη
′