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Physique quantique : Fondements
Le théorème de Wigner énonce qu’il est toujours possible de choisir les phases
des vecteurs de telle sorte que la correspondance entre rayons devienne une
correspondance entre vecteurs
ϕ → Uϕ
|(Uϕ,Uχ)| = |(ϕ, χ)|
(A.4)
où la transformation U est soit linéaire unitaire
(Uϕ,Uχ)=(ϕ, χ)
(A.5)
soit antilinéaire unitaire (= antiunitaire)
(Uϕ,Uχ)=(χ, ϕ)=(ϕ, χ)
∗
(A.6)
A.1 Démonstration du théorème
Soit {χ i },i =1 ,...N une base orthonormée de H supposé de dimension
N , (χ i ,χ k )=δ ik . Nous allons faire jouer un rôle particulier au premier vecteur
de base : par convention, les indices i et k varieront entre 1 et N et les indices
j et l entre 2 et N . Choisissons un représentant χ
′′
1 ≡ χ
′
1 dans la classe de
T ˜
χ 1 et un représentant χ
′′
j dans la classe de T ˜
χ j , j =2,...,N. D’après (A.3),
l’ensemble {χ
′′
1 ,χ
′′
j } forme aussi une base de H car
|(χ
′′
i ,χ
′′
k )| = |(χ i ,χ k )| = δ ik
Considérons l’ensemble des vecteurs ϕ j
ϕ j = χ 1 + χ j
j =2,...,N
(A.7)
et soit T ˜
ϕ j , le transformé du rayon ˜
ϕ j .S iϕ
′′
j est un représentant de T ˜
ϕ j ,
nous aurons
|(χ
′
1 ,ϕ
′′
j )| = |(χ 1 ,ϕ j )| =1
|(χ
′′
j ,ϕ
′′
l )| = |(χ j ,ϕ l )| = δ jl
Un représentant ϕ
′′
j de T ˜
ϕ j aura donc des composantes uniquement suivant
χ
′
1 et χ
′′
j
ϕ
′′
j = c j χ
′
1 + d j χ
′′
j
et ces composantes seront de module unité : |c j | = |d j | =1. On peut maintenant choisir des représentants ϕ
′
j et χ
′
j
ϕ
′
j =
1
c j
ϕ
′′
j
χ
′
j =
d j
c j
χ
′′
j
(A.8)
de sorte que
ϕ
′
j =
1
c j
(c j χ
′
1 + d j χ
′′
j )=χ
′
1 + χ
′
j
(A.9)