Annexes
A Théorème de Wigner et renversement
du temps
Dans cette annexe, nous allons donner la démonstration du théorème de
Wigner énoncé au § 7.1.2 et examiner l’invariance par rapport au renversement
du sens du temps (ou simplement renversement du temps), qui est particulière
car l’opérateur qui réalise la symétrie dans l’espace de Hilbert H est antiunitaire, et non unitaire comme dans tous les cas que nous avons rencontrés
jusqu’à présent. Rappelons la définition du § 7.1.1 d’un rayon de l’espace de
Hilbert : un rayon est un vecteur à un facteur de phase près. Deux vecteurs
unitaires ϕ et ϕ qui diffèrent par un facteur de phase : ϕ =e x p ( iα) ϕ appartiennent à une même classe d’équivalence, qui est précisément un rayon ˜
ϕ
de H. Comme le module du produit scalaire est indépendant du représentant
dans la classe d’équivalence
|(ϕ, χ)| = |(ϕ, χ)|
le module du produit scalaire de deux rayons ˜
ϕ et ˜
χ est bien défini en choisissant deux représentants arbitraires dans chaque classe d’équivalence
|(˜ ϕ, ˜
χ)| = |(ϕ, χ)|
(A.1)
mais bien évidemment cela n’a pas de sens de parler du produit scalaire de
deux rayons. Nous utilisons la notation (•, •) pour le produit scalaire, afin
d’éviter les ambiguïtés de la notation de Dirac, qui seraient particulièrement
gênantes dans cette annexe.
Soit dans H une correspondance entre rayons
˜
ϕ → T ˜
ϕ
(A.2)
telle que le module du produit scalaire soit invariant
|(˜ ϕ, ˜
χ)| = |(T ˜
ϕ, T ˜
χ)|
(A.3)
A Théorème de Wigner et renversement
du temps
Dans cette annexe, nous allons donner la démonstration du théorème de
Wigner énoncé au § 7.1.2 et examiner l’invariance par rapport au renversement
du sens du temps (ou simplement renversement du temps), qui est particulière
car l’opérateur qui réalise la symétrie dans l’espace de Hilbert H est antiunitaire, et non unitaire comme dans tous les cas que nous avons rencontrés
jusqu’à présent. Rappelons la définition du § 7.1.1 d’un rayon de l’espace de
Hilbert : un rayon est un vecteur à un facteur de phase près. Deux vecteurs
unitaires ϕ et ϕ qui diffèrent par un facteur de phase : ϕ =e x p ( iα) ϕ appartiennent à une même classe d’équivalence, qui est précisément un rayon ˜
ϕ
de H. Comme le module du produit scalaire est indépendant du représentant
dans la classe d’équivalence
|(ϕ, χ)| = |(ϕ, χ)|
le module du produit scalaire de deux rayons ˜
ϕ et ˜
χ est bien défini en choisissant deux représentants arbitraires dans chaque classe d’équivalence
|(˜ ϕ, ˜
χ)| = |(ϕ, χ)|
(A.1)
mais bien évidemment cela n’a pas de sens de parler du produit scalaire de
deux rayons. Nous utilisons la notation (•, •) pour le produit scalaire, afin
d’éviter les ambiguïtés de la notation de Dirac, qui seraient particulièrement
gênantes dans cette annexe.
Soit dans H une correspondance entre rayons
˜
ϕ → T ˜
ϕ
(A.2)
telle que le module du produit scalaire soit invariant
|(˜ ϕ, ˜
χ)| = |(T ˜
ϕ, T ˜
χ)|
(A.3)