468
Physique quantique : Fondements
Écrire l’expression de ˜
H int pour les deux bandes latérales, et montrer que pour
la bande latérale bleue
˜
H
+
int =
i
2
ηω 1
√
m +1
σ + a b e
−iφ − σ − a
†
b e
iφ
tandis que pour la bande latérale rouge
˜
H
−
int =
i
2
ηω 1
√
m
σ + a
†
r e
−iφ − σ − a r e
iφ
Les opérateurs a b ...a
†
r sont définis de façon à conserver la norme des vecteurs
d’état
a b =
a
√
m +1
a
†
b =
a
†
√
m +1
a r =
a
√
m
a
†
r =
a
†
√ m
On se limite au cas m =1. Quels sont les opérateurs de rotation sur les deux
bandes R
± (θ, φ),o ùθ = −ω
±
1 t ?
3. En plus des niveaux |0, 0, |0, 1, |1, 0 et |1, 1, on utilise également le
niveau |1, 2. Dessiner le schéma des niveaux et identifier les transitions de
bande latérale bleue |0, 0↔|1, 1 et |0, 1↔|1, 2. Montrer que l’opérateur
de rotation R
+
αβ défini par
R
+
αβ = R
+ (α, π/2) R
+ (β, 0) R
+ (α, π/2) R
+ (β, 0)
est égal à −I pour α = π, β quelconque, ou β = π, α quelconque. R
± (θ, φ)
est une rotation d’angle θ autour d’un axe situé dans le plan xOy,f a i s a n tu n
angle φ avec l’axe Ox et utilisant la bande latérale bleue (+) ou rouge (−).
Compte tenu de ce que la fréquence de Rabi pour la transition |0, 1↔|1, 2
vaut
√
2 fois celle pour la transition |0, 0↔| 1, 1, comment peut-on choisir
α et β de telle sorte que R
+
αβ = −I pour les deux transitions ? En déduire la
séquence des 4 impulsions et leur durée de telle sorte que le résultat net soit
|00↔−|0, 0| 0, 1↔−|0, 1| 1, 0↔+|1, 0| 1, 1↔−|1, 1
On a donc fabriqué une porte cZ (au signe près)
32
.
4. Il faut maintenant “transférer” la porte cZ vers la base de calcul des
états |n 1 ,n 2 , n 1 ,n 2 =0 , 1 étant les états fondamentaux et excités des deux
ions. Montrer que l’on obtient le résultat souhaité en prenant en sandwich
l’opérateur de rotation R
+(1)
αβ
sur l’ion numéro 1 utilisant la bande latérale
bleue entre deux rotations de π sur l’ion numéro 2 utilisant la bande latérale
rouge
R
−(2) (π, π/2)
R
+(1)
αβ
R
−(2) (−π, π/2)
Une opération un peu plus complexe permet de construire une porte cNOT.
32. La porte cZ se déduit de la porte cNOT (11.125) par σx → σz .E nf a i t ,cNOT =
H ⊗2 cZ H ⊗2 , où H est la porte de Hadamard (11.122).
Physique quantique : Fondements
Écrire l’expression de ˜
H int pour les deux bandes latérales, et montrer que pour
la bande latérale bleue
˜
H
+
int =
i
2
ηω 1
√
m +1
σ + a b e
−iφ − σ − a
†
b e
iφ
tandis que pour la bande latérale rouge
˜
H
−
int =
i
2
ηω 1
√
m
σ + a
†
r e
−iφ − σ − a r e
iφ
Les opérateurs a b ...a
†
r sont définis de façon à conserver la norme des vecteurs
d’état
a b =
a
√
m +1
a
†
b =
a
†
√
m +1
a r =
a
√
m
a
†
r =
a
†
√ m
On se limite au cas m =1. Quels sont les opérateurs de rotation sur les deux
bandes R
± (θ, φ),o ùθ = −ω
±
1 t ?
3. En plus des niveaux |0, 0, |0, 1, |1, 0 et |1, 1, on utilise également le
niveau |1, 2. Dessiner le schéma des niveaux et identifier les transitions de
bande latérale bleue |0, 0↔|1, 1 et |0, 1↔|1, 2. Montrer que l’opérateur
de rotation R
+
αβ défini par
R
+
αβ = R
+ (α, π/2) R
+ (β, 0) R
+ (α, π/2) R
+ (β, 0)
est égal à −I pour α = π, β quelconque, ou β = π, α quelconque. R
± (θ, φ)
est une rotation d’angle θ autour d’un axe situé dans le plan xOy,f a i s a n tu n
angle φ avec l’axe Ox et utilisant la bande latérale bleue (+) ou rouge (−).
Compte tenu de ce que la fréquence de Rabi pour la transition |0, 1↔|1, 2
vaut
√
2 fois celle pour la transition |0, 0↔| 1, 1, comment peut-on choisir
α et β de telle sorte que R
+
αβ = −I pour les deux transitions ? En déduire la
séquence des 4 impulsions et leur durée de telle sorte que le résultat net soit
|00↔−|0, 0| 0, 1↔−|0, 1| 1, 0↔+|1, 0| 1, 1↔−|1, 1
On a donc fabriqué une porte cZ (au signe près)
32
.
4. Il faut maintenant “transférer” la porte cZ vers la base de calcul des
états |n 1 ,n 2 , n 1 ,n 2 =0 , 1 étant les états fondamentaux et excités des deux
ions. Montrer que l’on obtient le résultat souhaité en prenant en sandwich
l’opérateur de rotation R
+(1)
αβ
sur l’ion numéro 1 utilisant la bande latérale
bleue entre deux rotations de π sur l’ion numéro 2 utilisant la bande latérale
rouge
R
−(2) (π, π/2)
R
+(1)
αβ
R
−(2) (−π, π/2)
Une opération un peu plus complexe permet de construire une porte cNOT.
32. La porte cZ se déduit de la porte cNOT (11.125) par σx → σz .E nf a i t ,cNOT =
H ⊗2 cZ H ⊗2 , où H est la porte de Hadamard (11.122).