11. Intrication et non localité quantiques
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où ω 0 est la fréquence de la transition |0↔|1. On applique à l’ion le champ
d’un laser lorsque t>0
E = E 1 ˆ
x cos(ωt − kz − φ)
La fréquence de Rabi est notée ω 1 . Le couplage entre le champ et l’ion est
H int = −
1
2
σ x cos(ωt − kz − φ)
Ce hamiltonien s’écrit dans le point de vue de l’interaction (§ 4.2.5)
˜
H int (t)=e
iH0t H int (t) e
−iH0t
Montrer que l’approximation séculaire conduit au hamiltonien
˜
H int ≃−
1
2
ω 1
σ + e
i(δt−φ) e
−ik˜ z + σ − e
−i(δt−φ) e
ik˜ z
où δ = ω − ω 0 est le désaccord. Si δ =0 , ce hamiltonien est indépendant du
temps
˜
H 1 ≃−
1
2
ω 1
σ + e
−iφ
e
−ik˜ z + σ − e
iφ
e
ik˜ z
Comme
˜
z =
2Mω z
a + a
†
exp(±ik˜ z) couple les niveaux internes |0 and |1 aux niveaux de vibration
dans le piège. Les niveaux internes seront étiquetés n, n =0 , 1,l e sn i v e a u x
de vibration m, m =0, 1, 2, ..., et l’état produit |n, m
2. Définissons le paramètre sans dimension de Lamb-Dicke η par
η = k
2Mω z
Quelle est l’interpretation physique de η ?S o i tm et m + m
′
, deux niveaux
de l’oscillateur harmonique. Montrer que la fréquence de Rabi ω
m→m+m
′
1
est
donnée par
ω
m→m+m
′
1
= ω 1 ||m + m
′ |e
iη(a+a
∗ ) |m|
où η est le paramètre de Lamb-Dicke. Les transitions correspondant aux fréquences ω = ω 0 + ω z (resp. ω = ω 0 − ω z ) sont appelées bande latérale bleue
(resp. bande latérale rouge), tandis que les transitions avec ω = ω 0 sont appelées transitions porteuses. Nous supposons aussi que η ≪ 1 et nous nous
plaçons au premier ordre en η. Montrer qu’à cette approximation et pour
m
′ = ±1, on a pour les bandes latérales bleues et rouges
ω
m→m+1
1
≃ η
√
m +1ω 1 = ω
+
1 (bleue)
ω
m→m−1
1
≃ η
√
mω 1 = ω
−
1 (rouge)