11. Intrication et non localité quantiques
461
3. Montrer que l’état
|Ψ =
1
√
2
(|xx + |yy)
est également invariant par rotation autour de Oz. Donner son expression en
fonction des états de polarisation circulaire
31
.
11.6.9 Stratégies gagnantes
1. Considérons le jeu décrit dans la section 11.3.1 : Alice et Bob disposent
de deux bits a =0 , 1 et b =0 , 1 et la stratégie gagnante consiste à obtenir
A ⊕ B = ab avec le taux de succès maximum ; A =0 , 1 et B =0 , 1 sont
les résultats correspondant aux entrées a et b, respectivement. Considérons
une stratégie déterministe qui pour chaque choix de (a, b) donne des résultats
(A, B), et telle que 3 des équations (11.68) soient satisfaites. Supposons qu’en
outre Alice et Bob partagent une variable aléatoire λ pouvant prendre l’une
des valeurs (1,2,3,4), cette valeur donnant le numéro de l’équation (11.68) qui
n’est pas satisfaite. On définit les probabilités p(a, b; λ)=1si la stratégie
déterministe correspondant à cette valeur de λ est vérifiée et p(a, b; λ)=0
dans le cas contraire. Montrer que le taux de succès maximum du protocole
probabiliste est
Max λ
1
4
a,b
p(a, b; λ)=
3
4
2. Supposons qu’Alice et Bob partagent un état intriqué
|Ψ =
1
√
2
(|00−|11)
et soit R(θ), l’opérateur de rotation autour de Oy
R(θ)|0 =cos
θ
2
|0 +sin
θ
2
|1
R(θ)|1 = − sin
θ
2
|0 +cos
θ
2
|1
Avant d’effectuer leur mesure, Alice et Bob appliquent cette rotation sur leurs
états respectifs avec un angle θ a pour Alice et θ b pour Bob. Montrer que l’état
après rotation est
|Ψ
′ =
1
√
2
cos
θ a + θ b
2
(|00 + |11)+sin
θ a + θ b
2
(|10 +01)
Montrer que si Alice et Bob choisissent θ = −π/8 si a, b =0et θ =3 π/8
pour a, b =1, alors les équations (11.68) sont vérifiées avec une probabilité de
cos
2 π/8.
31. Les états |Φ et |Ψ sont tous deux de moment angulaire nul. Si les deux photons
proviennent de la désintégration d’une particule de spin 0, le choix entre les deux états
dépend de la parité de la particule mère : voir l’exercice 14.5.4.
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3. Montrer que l’état
|Ψ =
1
√
2
(|xx + |yy)
est également invariant par rotation autour de Oz. Donner son expression en
fonction des états de polarisation circulaire
31
.
11.6.9 Stratégies gagnantes
1. Considérons le jeu décrit dans la section 11.3.1 : Alice et Bob disposent
de deux bits a =0 , 1 et b =0 , 1 et la stratégie gagnante consiste à obtenir
A ⊕ B = ab avec le taux de succès maximum ; A =0 , 1 et B =0 , 1 sont
les résultats correspondant aux entrées a et b, respectivement. Considérons
une stratégie déterministe qui pour chaque choix de (a, b) donne des résultats
(A, B), et telle que 3 des équations (11.68) soient satisfaites. Supposons qu’en
outre Alice et Bob partagent une variable aléatoire λ pouvant prendre l’une
des valeurs (1,2,3,4), cette valeur donnant le numéro de l’équation (11.68) qui
n’est pas satisfaite. On définit les probabilités p(a, b; λ)=1si la stratégie
déterministe correspondant à cette valeur de λ est vérifiée et p(a, b; λ)=0
dans le cas contraire. Montrer que le taux de succès maximum du protocole
probabiliste est
Max λ
1
4
a,b
p(a, b; λ)=
3
4
2. Supposons qu’Alice et Bob partagent un état intriqué
|Ψ =
1
√
2
(|00−|11)
et soit R(θ), l’opérateur de rotation autour de Oy
R(θ)|0 =cos
θ
2
|0 +sin
θ
2
|1
R(θ)|1 = − sin
θ
2
|0 +cos
θ
2
|1
Avant d’effectuer leur mesure, Alice et Bob appliquent cette rotation sur leurs
états respectifs avec un angle θ a pour Alice et θ b pour Bob. Montrer que l’état
après rotation est
|Ψ
′ =
1
√
2
cos
θ a + θ b
2
(|00 + |11)+sin
θ a + θ b
2
(|10 +01)
Montrer que si Alice et Bob choisissent θ = −π/8 si a, b =0et θ =3 π/8
pour a, b =1, alors les équations (11.68) sont vérifiées avec une probabilité de
cos
2 π/8.
31. Les états |Φ et |Ψ sont tous deux de moment angulaire nul. Si les deux photons
proviennent de la désintégration d’une particule de spin 0, le choix entre les deux états
dépend de la parité de la particule mère : voir l’exercice 14.5.4.