11. Intrication et non localité quantiques
459
Introduisons les 9 couples de valeurs pour i, j =1, 2, 3
c 1 = σ 1 τ 1 ,c 2 = σ 1 τ 2 ,...,c 9 = σ 3 τ 3
où σ i = ±1 (τ i = ±1), est le résultat de la mesure de σ(θ i )( τ (θ j ))
pour le spin A (B). Chaque variable c i peut prendre 4 valeurs : σ k τ l =
++, +−, −+, −−, et la distribution de probabilité p(c 1 ,...,c 9 ) comprend
donc 4
9 = 262 144 termes. Montrer que la causalité relativiste implique,
qu’en fait, seules 2
6 =6 4probabilités indépendantes sont non nulles, ce que
la condition σ i = −τ i réduit à 8. Notons que nous avons implicitement admis
la contrafactualité : si l’on mesure, par exemple, σ 1 et τ 1 ,al orsσ 2 ,σ 3 ,τ 2 et τ 3
sont définis. La probabilité jointe p 13 p o u rq u el es p i nA soit orienté suivant
θ 1 et le spin B suivant θ 3 est
p 13 =
σ2,σ3
τ1,τ2
p(+,σ 2 ,σ 3 ; τ 1 ,τ 2 , +)
= p(+ + −; −−+) + p(+ −−; − ++)
Donner l’expression analogue pour p 12 et p 23 et en déduire l’inégalité
p 12 + p 23 > p 13
Trouver une configuration d’angles pour laquelle cette inégalité n’est pas satisfaite.
11.6.7 États de Hardy
Les états de Hardy donnent un exemple frappant de l’impossibilité de
rendre compte de corrélations quantiques par une distribution de probabilité classique. Pour définir les états de Hardy, considérons deux bases incompatibles pour deux spins 1/2, (A, α) pour A et (B, β) pour B,p a r
exemple A = σ zA ,α = σ xA , B = σ zB ,β = σ xB , avec des vecteurs propres
|A ± ,...,|β ± et définissons l’état de Hardy |Φ H par
|Φ H = |A + B + −|α + β + α + β + |A + B +
Cet état n’est pas normalisé
Φ H
2 =1−||α + β + |A + B + |
2
mais ceci n’a aucune importance pour la suite. Il existe 16 résultats possibles
pour les mesures (A ± = ±1,e t c . )
(A + ,B + ),...,(α − β − )
Montrer que trois configurations ont une probabilité nulle. Montrer, de plus,
que la probabilité conditionnelle p(A − |B − ) est non nulle
p(A − ,B − ) =0= ⇒ p(A − |B − ) =0
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Introduisons les 9 couples de valeurs pour i, j =1, 2, 3
c 1 = σ 1 τ 1 ,c 2 = σ 1 τ 2 ,...,c 9 = σ 3 τ 3
où σ i = ±1 (τ i = ±1), est le résultat de la mesure de σ(θ i )( τ (θ j ))
pour le spin A (B). Chaque variable c i peut prendre 4 valeurs : σ k τ l =
++, +−, −+, −−, et la distribution de probabilité p(c 1 ,...,c 9 ) comprend
donc 4
9 = 262 144 termes. Montrer que la causalité relativiste implique,
qu’en fait, seules 2
6 =6 4probabilités indépendantes sont non nulles, ce que
la condition σ i = −τ i réduit à 8. Notons que nous avons implicitement admis
la contrafactualité : si l’on mesure, par exemple, σ 1 et τ 1 ,al orsσ 2 ,σ 3 ,τ 2 et τ 3
sont définis. La probabilité jointe p 13 p o u rq u el es p i nA soit orienté suivant
θ 1 et le spin B suivant θ 3 est
p 13 =
σ2,σ3
τ1,τ2
p(+,σ 2 ,σ 3 ; τ 1 ,τ 2 , +)
= p(+ + −; −−+) + p(+ −−; − ++)
Donner l’expression analogue pour p 12 et p 23 et en déduire l’inégalité
p 12 + p 23 > p 13
Trouver une configuration d’angles pour laquelle cette inégalité n’est pas satisfaite.
11.6.7 États de Hardy
Les états de Hardy donnent un exemple frappant de l’impossibilité de
rendre compte de corrélations quantiques par une distribution de probabilité classique. Pour définir les états de Hardy, considérons deux bases incompatibles pour deux spins 1/2, (A, α) pour A et (B, β) pour B,p a r
exemple A = σ zA ,α = σ xA , B = σ zB ,β = σ xB , avec des vecteurs propres
|A ± ,...,|β ± et définissons l’état de Hardy |Φ H par
|Φ H = |A + B + −|α + β + α + β + |A + B +
Cet état n’est pas normalisé
Φ H
2 =1−||α + β + |A + B + |
2
mais ceci n’a aucune importance pour la suite. Il existe 16 résultats possibles
pour les mesures (A ± = ±1,e t c . )
(A + ,B + ),...,(α − β − )
Montrer que trois configurations ont une probabilité nulle. Montrer, de plus,
que la probabilité conditionnelle p(A − |B − ) est non nulle
p(A − ,B − ) =0= ⇒ p(A − |B − ) =0