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Physique quantique : Fondements
On peut montrer que les transitions permises correspondent à ∆Σ z = ±1,
tandis que ∆Σ z = ±2 et ∆Σ z =0sont interdites. Montrer que les quatre
fréquences qui apparaissent dans le signal RMN sont
δ
(1) + ω 12 δ
(1) − ω 12 δ
(2) + ω 12 δ
(2) − ω 12 .
Tracer qualitativement le schéma de niveaux et comparer avec la figure 5.10.
11.6.5 Non unicité de la préparation de l’opérateur
statistique pour le spin 1/2
Soit O le centre de la sphère de Poincaré-Bloch et b =
OM le vecteur de
Bloch (figure 11.1). Traçons une corde de la sphère passant par l’extrémité
de b. Cette corde coupe la sphère en deux points P 1 et P 2 ; définissons les
vecteurs unitaires
ˆ
n 1 =
OP 1 ,
ˆ
n 2 =
OP 2 .
Montrer que le vecteur de Bloch peut s’écrire
b =ˆ n 1 + λ(ˆ n 2 − ˆ
n 1 )=(1− λ)ˆ n 1 + λˆ n 2 ,
0 <λ<1
Montrer que la matrice statistique définie par ce vecteur b est
ρ =
1
2
(1 − λ)(I + σ · ˆ
n 1 )+
1
2
λ (I + σ · ˆ
n 2 ) .
(11.147)
Montrer que l’on peut utiliser la préparation suivante : probabilité p 1 =(1−λ)
pour l’état |+, ˆ
n 1 et probabilité p 2 = λ pour l’état |+, ˆ
n 2
ρ = p 1 |+, ˆ
n 1 +, ˆ
n 1 | + p 2 |+, ˆ
n 2 +, ˆ
n 2 |.
En déduire qu’il existe une infinité de préparations de ρ.
11.6.6 Inégalité de Wigner
Il existe plusieurs inégalités de type Bell en plus de l’inégalité BCHSH.
Cet exercice examine une inégalité due à Wigner [1970], qui reprend la configuration de la figure 11.4 pour deux spins 1/2 dans l’état (11.43). Soit p ij ,
la probabilité jointe que le spin A soit orienté dans la direction θ i = θ A et le
spin B dans la direction θ j = θ B . Nous avons montré en (11.46) que
p ij =
1
2
sin
2 (θ i − θ j )=
1
2
sin
2 θ ij
Nous notons σ les matrices de Pauli du spin A et τ celles du spin B.C o n s i -
dérons les opérateurs
σ i = σ(θ i )=σ z cos θ i + σ x sin θ i
τ j = τ (θ j )=τ z cos θ j + τ x sin θ j
Physique quantique : Fondements
On peut montrer que les transitions permises correspondent à ∆Σ z = ±1,
tandis que ∆Σ z = ±2 et ∆Σ z =0sont interdites. Montrer que les quatre
fréquences qui apparaissent dans le signal RMN sont
δ
(1) + ω 12 δ
(1) − ω 12 δ
(2) + ω 12 δ
(2) − ω 12 .
Tracer qualitativement le schéma de niveaux et comparer avec la figure 5.10.
11.6.5 Non unicité de la préparation de l’opérateur
statistique pour le spin 1/2
Soit O le centre de la sphère de Poincaré-Bloch et b =
OM le vecteur de
Bloch (figure 11.1). Traçons une corde de la sphère passant par l’extrémité
de b. Cette corde coupe la sphère en deux points P 1 et P 2 ; définissons les
vecteurs unitaires
ˆ
n 1 =
OP 1 ,
ˆ
n 2 =
OP 2 .
Montrer que le vecteur de Bloch peut s’écrire
b =ˆ n 1 + λ(ˆ n 2 − ˆ
n 1 )=(1− λ)ˆ n 1 + λˆ n 2 ,
0 <λ<1
Montrer que la matrice statistique définie par ce vecteur b est
ρ =
1
2
(1 − λ)(I + σ · ˆ
n 1 )+
1
2
λ (I + σ · ˆ
n 2 ) .
(11.147)
Montrer que l’on peut utiliser la préparation suivante : probabilité p 1 =(1−λ)
pour l’état |+, ˆ
n 1 et probabilité p 2 = λ pour l’état |+, ˆ
n 2
ρ = p 1 |+, ˆ
n 1 +, ˆ
n 1 | + p 2 |+, ˆ
n 2 +, ˆ
n 2 |.
En déduire qu’il existe une infinité de préparations de ρ.
11.6.6 Inégalité de Wigner
Il existe plusieurs inégalités de type Bell en plus de l’inégalité BCHSH.
Cet exercice examine une inégalité due à Wigner [1970], qui reprend la configuration de la figure 11.4 pour deux spins 1/2 dans l’état (11.43). Soit p ij ,
la probabilité jointe que le spin A soit orienté dans la direction θ i = θ A et le
spin B dans la direction θ j = θ B . Nous avons montré en (11.46) que
p ij =
1
2
sin
2 (θ i − θ j )=
1
2
sin
2 θ ij
Nous notons σ les matrices de Pauli du spin A et τ celles du spin B.C o n s i -
dérons les opérateurs
σ i = σ(θ i )=σ z cos θ i + σ x sin θ i
τ j = τ (θ j )=τ z cos θ j + τ x sin θ j