11. Intrication et non localité quantiques
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Montrer que U (t)=−iσ y , et que si l’on prend en compte la relaxation ρ(t)
est
ρ(t)=
1
2
I +
1
2
δpσ y e
−t/T2
indépendamment du désaccord δ. Montrer que la mesure de la décroissance de
la hauteur du pic de ˜
a(ω) permet une détermination fiable de T 2 , et expliquer
pourquoi cette séquence d’opérations s’appelle “écho de spin”.
2. Considérons deux noyaux identiques de spin 1/2 (par exemple deux
protons) appartenant à une même molécule observée dans un expérience de
RMN. Les deux spins nucléaires ont un hamiltonien d’interaction H 12 ,q u i ,
dans le cas le plus simple, a la forme suivante
H 12 = ω 12 σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z
Montrer que l’opérateur d’évolution correspondant est donné par
U 12 (t)=exp(−iH 12 t/)=I 12 cos ω 12 t − i[σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z ]sinω 12 t
Montrer l’identité suivante
U [R
(1)
x (π)] exp(−iH 12 t/)U [R
(1)
x (π)] exp(−iH 12 t/)=I 12
où U [R
(1)
x (π)] est une rotation de π du spin 1 autour de l’axe x. À partir de
cette équation, montrer que la séquence d’opérations
´ evolution pendant t → rotation de π autour de Ox
→ ´ evolution pendant t → rotation de π autour de Ox
ramène les spins à leur configuration originale à t =0. La séquence précédente
d’opérations est utilisée en calcul quantique RMN. Elle repose sur la propriété
suivante : ω
−1
12 est de l’ordre de la centaine de millisecondes, tandis qu’une
rotation prend quelques dizaines de microsecondes.
3. Montrer que le hamiltonien complet des deux spins est, dans le référentiel en rotation
H tot =
2
δ
(1) σ
(1)
z +
2
δ
(2) σ
(2)
z −
2
ω
(1)
1 σ
(1)
x −
2
ω
(2)
1 σ
(2)
x + ω 12 σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z
où δ
(i)
est le désaccord et ω
(i)
1
la fréquence de Rabi pour le spin (i).L a
différence
δ
(1) − δ
(2) = γ(B
(1)
0 − B
(2)
0 )
est le déplacement chimique (§ 5.2.3). Quels sont les quatre niveaux d’énergie
en l’absence de champ de radiofréquences (ω
(1)
1
= ω
(2)
1
=0 ) ? Introduisons
l’opérateur Σ z ,c o m p o s a n t ez du spin total
Σ z =
1
2
(σ
(1)
z + σ
(1)
z ).
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Montrer que U (t)=−iσ y , et que si l’on prend en compte la relaxation ρ(t)
est
ρ(t)=
1
2
I +
1
2
δpσ y e
−t/T2
indépendamment du désaccord δ. Montrer que la mesure de la décroissance de
la hauteur du pic de ˜
a(ω) permet une détermination fiable de T 2 , et expliquer
pourquoi cette séquence d’opérations s’appelle “écho de spin”.
2. Considérons deux noyaux identiques de spin 1/2 (par exemple deux
protons) appartenant à une même molécule observée dans un expérience de
RMN. Les deux spins nucléaires ont un hamiltonien d’interaction H 12 ,q u i ,
dans le cas le plus simple, a la forme suivante
H 12 = ω 12 σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z
Montrer que l’opérateur d’évolution correspondant est donné par
U 12 (t)=exp(−iH 12 t/)=I 12 cos ω 12 t − i[σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z ]sinω 12 t
Montrer l’identité suivante
U [R
(1)
x (π)] exp(−iH 12 t/)U [R
(1)
x (π)] exp(−iH 12 t/)=I 12
où U [R
(1)
x (π)] est une rotation de π du spin 1 autour de l’axe x. À partir de
cette équation, montrer que la séquence d’opérations
´ evolution pendant t → rotation de π autour de Ox
→ ´ evolution pendant t → rotation de π autour de Ox
ramène les spins à leur configuration originale à t =0. La séquence précédente
d’opérations est utilisée en calcul quantique RMN. Elle repose sur la propriété
suivante : ω
−1
12 est de l’ordre de la centaine de millisecondes, tandis qu’une
rotation prend quelques dizaines de microsecondes.
3. Montrer que le hamiltonien complet des deux spins est, dans le référentiel en rotation
H tot =
2
δ
(1) σ
(1)
z +
2
δ
(2) σ
(2)
z −
2
ω
(1)
1 σ
(1)
x −
2
ω
(2)
1 σ
(2)
x + ω 12 σ
(1)
z ⊗ σ
(2)
z
où δ
(i)
est le désaccord et ω
(i)
1
la fréquence de Rabi pour le spin (i).L a
différence
δ
(1) − δ
(2) = γ(B
(1)
0 − B
(2)
0 )
est le déplacement chimique (§ 5.2.3). Quels sont les quatre niveaux d’énergie
en l’absence de champ de radiofréquences (ω
(1)
1
= ω
(2)
1
=0 ) ? Introduisons
l’opérateur Σ z ,c o m p o s a n t ez du spin total
Σ z =
1
2
(σ
(1)
z + σ
(1)
z ).