456
Physique quantique : Fondements
En utilisant le résultat de la question 5 de l’exercice précédent, montrer que
les vecteurs propres de H sont des combinaisons linéaires de vecteurs où le
nombre de spins up moins le nombre de spins down est une constante. Soit
|Ψ n , l’état où le spin n est down, tous les autres spins étant up. Quelle est
l’action de H sur |Ψ n ?
3. On cherche des vecteurs propres |k s de H comme combinaisons linéaires
des |Ψ n . Compte tenu de la symétrie cyclique, on pose
|k s =
N −1
n=0
e
iksnl |Ψ n
avec
k s =
2πs
Nl
s =0, 1, ... N − 1
Montrer que |k s est vecteur propre de H et déterminer l’énergie correspondante E k . Montrer que l’énergie est proportionnelle à k
2
s si k s → 0. On associe
à l’état |k s de (pseudo-)vecteur d’onde k s et d’énergie E k une particule appelée magnon.
11.6.4 Écho de spin et décomposition des niveaux
en RMN
1. Pour diverses raisons, il est important de mesurer avec précision le
temps de relaxation transverse T 2 (§ 5.2.3 et § 11.4.3) dans des expériences
de RMN. Dans le référentiel en rotation, le signal RMN a(t) prend la forme
(δ est le désaccord)
a(t) ∝ e
iδt/2
e
−t/T2 .
Calculer la transformée de Fourier ˜
a(ω) de a(t)
˜
a(ω)=
∞
0
dt e
iωt a(t).
On pourrait espérer déduire T 2 de la largeur 1/T 2 d up i cd el ap a r t i er é e l l e
de ˜
a(ω). Cependant, les différentes molécules auront des désaccords différents,
par exemple parce que
B 0 peut être légèrement inhomogène, ce qui conduit à
des fréquences de Larmor différentes, de sorte que les signaux des différentes
molécules interfèrent destructivement, et a(t) décroît avec un temps caractéristique beaucoup plus petit que T 2 . Pour contourner cette difficulté, on
applique la séquence suivante d’opérations sur la matrice statistique (11.39) :
évolution libre pendant t/2, rotation de π autour de l’axe y et évolution libre
pendant t/2. Montrer qu’en l’absence de relaxation, la matrice statistique
évoluerait à partir de ρ(t =0)(11.39) selon
ρ(t =0)→ ρ(t)=U (t) ρ(t =0)U
† (t)
U (t)=e x p
−iδσ z t
4
(−iσ y )e x p
−iδσ z t
4
Physique quantique : Fondements
En utilisant le résultat de la question 5 de l’exercice précédent, montrer que
les vecteurs propres de H sont des combinaisons linéaires de vecteurs où le
nombre de spins up moins le nombre de spins down est une constante. Soit
|Ψ n , l’état où le spin n est down, tous les autres spins étant up. Quelle est
l’action de H sur |Ψ n ?
3. On cherche des vecteurs propres |k s de H comme combinaisons linéaires
des |Ψ n . Compte tenu de la symétrie cyclique, on pose
|k s =
N −1
n=0
e
iksnl |Ψ n
avec
k s =
2πs
Nl
s =0, 1, ... N − 1
Montrer que |k s est vecteur propre de H et déterminer l’énergie correspondante E k . Montrer que l’énergie est proportionnelle à k
2
s si k s → 0. On associe
à l’état |k s de (pseudo-)vecteur d’onde k s et d’énergie E k une particule appelée magnon.
11.6.4 Écho de spin et décomposition des niveaux
en RMN
1. Pour diverses raisons, il est important de mesurer avec précision le
temps de relaxation transverse T 2 (§ 5.2.3 et § 11.4.3) dans des expériences
de RMN. Dans le référentiel en rotation, le signal RMN a(t) prend la forme
(δ est le désaccord)
a(t) ∝ e
iδt/2
e
−t/T2 .
Calculer la transformée de Fourier ˜
a(ω) de a(t)
˜
a(ω)=
∞
0
dt e
iωt a(t).
On pourrait espérer déduire T 2 de la largeur 1/T 2 d up i cd el ap a r t i er é e l l e
de ˜
a(ω). Cependant, les différentes molécules auront des désaccords différents,
par exemple parce que
B 0 peut être légèrement inhomogène, ce qui conduit à
des fréquences de Larmor différentes, de sorte que les signaux des différentes
molécules interfèrent destructivement, et a(t) décroît avec un temps caractéristique beaucoup plus petit que T 2 . Pour contourner cette difficulté, on
applique la séquence suivante d’opérations sur la matrice statistique (11.39) :
évolution libre pendant t/2, rotation de π autour de l’axe y et évolution libre
pendant t/2. Montrer qu’en l’absence de relaxation, la matrice statistique
évoluerait à partir de ρ(t =0)(11.39) selon
ρ(t =0)→ ρ(t)=U (t) ρ(t =0)U
† (t)
U (t)=e x p
−iδσ z t
4
(−iσ y )e x p
−iδσ z t
4