11. Intrication et non localité quantiques
455
où E 0 et A sont des constantes. Déterminer les vecteurs propres et valeurs
propres de H 0 .
7. Le positronium est placé dans un champ magnétique
B uniforme et
constant parallèle à Oz. Montrer que le hamiltonien devient
H = H 0 −
q e
2m
B(σ 1z − σ 2z )
où m est la masse de l’electron et q e sa charge. Déterminer la matrice représentative de H dans la base {|I, |II, |III, |IV }. On définit le paramètre
x par
q e
2m
B = −Ax
Déterminer les valeurs propres de H et tracer sur un graphique leur dépendance en fonction de x.
11.6.3 Ondes de spin et magnons
NB : Cet exercice utilise les notations et les résultats des questions 2
à 5 de l’exercice précédent. On peut représenter un corps ferromagnétique
à une dimension comme une chaîne de spins 1/2 : N spins 1/2 numérotés
n =0 , ..., N − 1, N ≫ 1, qui sont disposés en chaque point d’un réseau à
une distance l l’un de l’autre. Il sera commode d’utiliser des conditions aux
limites périodiques, où le spin N est identifié au spin 0 : N ≡ 0. On suppose
que chaque spin peut interagir uniquement avec ses deux plus proches voisins
et le hamiltonien s’écrit en fonction d’une constante A
H =
1
2
NAI −
1
2
A
N −1
n=0
σ n · σ n+1
1. Montrer que toute valeur propre E de H vérifie E ≥ 0 etqueleminimum
E 0 correspondant à l’état fondamental est atteint quand tous les spins sont
orientés dans la même direction. Dans la suite de l’exercice, on choisira cette
direction comme axe des z. Un choix possible pour l’état fondamental |Φ 0
est alors
30
|Φ 0 = | +++...+++
2. Montrer que H s’écrit
H = NAI − A
N −1
n=0
P n,n+1 = A
N −1
n=0
(I −P n,n+1 )
où
P n,n+1 =
1
2
(I + σ n · σ n+1 )
30. Tout état obtenu à partir de |Φ 0 par une rotation de l’ensemble des spins d’un même
angle autour d’un même axe est encore un état fondamental possible.
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où E 0 et A sont des constantes. Déterminer les vecteurs propres et valeurs
propres de H 0 .
7. Le positronium est placé dans un champ magnétique
B uniforme et
constant parallèle à Oz. Montrer que le hamiltonien devient
H = H 0 −
q e
2m
B(σ 1z − σ 2z )
où m est la masse de l’electron et q e sa charge. Déterminer la matrice représentative de H dans la base {|I, |II, |III, |IV }. On définit le paramètre
x par
q e
2m
B = −Ax
Déterminer les valeurs propres de H et tracer sur un graphique leur dépendance en fonction de x.
11.6.3 Ondes de spin et magnons
NB : Cet exercice utilise les notations et les résultats des questions 2
à 5 de l’exercice précédent. On peut représenter un corps ferromagnétique
à une dimension comme une chaîne de spins 1/2 : N spins 1/2 numérotés
n =0 , ..., N − 1, N ≫ 1, qui sont disposés en chaque point d’un réseau à
une distance l l’un de l’autre. Il sera commode d’utiliser des conditions aux
limites périodiques, où le spin N est identifié au spin 0 : N ≡ 0. On suppose
que chaque spin peut interagir uniquement avec ses deux plus proches voisins
et le hamiltonien s’écrit en fonction d’une constante A
H =
1
2
NAI −
1
2
A
N −1
n=0
σ n · σ n+1
1. Montrer que toute valeur propre E de H vérifie E ≥ 0 etqueleminimum
E 0 correspondant à l’état fondamental est atteint quand tous les spins sont
orientés dans la même direction. Dans la suite de l’exercice, on choisira cette
direction comme axe des z. Un choix possible pour l’état fondamental |Φ 0
est alors
30
|Φ 0 = | +++...+++
2. Montrer que H s’écrit
H = NAI − A
N −1
n=0
P n,n+1 = A
N −1
n=0
(I −P n,n+1 )
où
P n,n+1 =
1
2
(I + σ n · σ n+1 )
30. Tout état obtenu à partir de |Φ 0 par une rotation de l’ensemble des spins d’un même
angle autour d’un même axe est encore un état fondamental possible.