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Physique quantique : Fondements
11.6.2 Structure fine et effet Zeeman du positronium
Le positronium est un état lié électron-positron très semblable à l’état lié
électron-proton de l’atome d’hydrogène.
1. Calculer l’énergie de l’état fondamental du positronium en fonction de
celui de l’atome d’hydrogène. On rappelle que la masse du positron est égale
à celle de l’électron.
2. Dans la suite de l’exercice, on s’intéressera uniquement à la structure
en spin de l’état fondamental du positronium. L’espace des états à prendre
en compte est donc un espace H à quatre dimensions, produit tensoriel des
espaces des états de spin 1/2 de l’électron et du positron. Suivant les notations
du § 11.1.2, on notera |ε 1 ε 2 un état où la composante z du spin de l’électron
est ε 1 /2 et celle du positron ε 2 /2,a v e cε = ±1. Déterminer l’action des
opérateurs σ 1x σ 2x , σ 1y σ 2y et σ 1z σ 2z sur les quatre états de base | ++, | +
−−, |−+ et |−−−de H. En déduire l’action sur ces états de
σ 1 · σ 2 = σ 1x σ 2x + σ 1y σ 2y + σ 1z σ 2z
3. Montrer que les quatre vecteurs
|I = | ++
|II =
1
√
2
(| + −− + |−+)
|III = |−−−
|IV =
1
√
2
(| + −− − | − +)
forment une base orthonormée de H et que ces vecteurs sont vecteurs propres
de σ 1 · σ 2 avec des valeurs propres 1 et −3. Que représentent ces états ? Faire
le lien avec le § 9.6.1.
4. Déterminer les projecteurs P 1 et P −3 sur les sous-espaces des valeurs
propres 1 et −3, en écrivant ces projecteurs sous la forme
λI + µµ σ 1 · σ 2
5. Montrer que l’opérateur P 12
P 12 =
1
2
(I + σ 1 · σ 2 )
échange les valeurs de ε 1 et ε 2
P 12 |ε 1 ε 2 = |ε 2 ε 1
6. Le hamiltonien H 0 du système de spins est donné en l’absence de champ
extérieur par
H 0 = E 0 I + AA σ 1 · σ 2
A>0