11. Intrication et non localité quantiques
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en raison de (11.145). En utilisant pour chaque photon des axes d’orientations
différentes, on pourra même vérifier la borne de Cirelson et en déduire que les
photons A et B étaient dans un état intriqué |Ψ
(+)
AB . Le même argument est
valable pour la paire (CD).
Cependant, supposons maintenant que la mesure de la paire (BC) soit
faite dans la base de Bell (11.137). Lorsque la mesure est effectuée, il y a une
chance sur 4 pour que la paire soit trouvée dans un des états de Bell (11.137),
par exemple dans l’état de Bell |Ψ
(+)
BC , et on peut trier les résultats (BC)
selon le type d’état de Bell enregistré. D’après (11.146), toutes les paires (AD)
correspondant à un résultat |Ψ
(+)
BC seront alors intriquées dans l’état |Ψ
(+)
AD ,et
la comparaison des mesures de polarisation sur A et D permettra de le vérifier.
Autrement dit, les mesures des polarisations des photons A et D, qui étaient
a priori des suites aléatoires de 0 et de 1, prennent une signification précise,
et différente selon le type de mesure effectué sur les deux autres photons,
postérieurement à l’enregistrement des polarisations de la paire (AD) :c ’ e s t
ce que l’on appelle une procédure de post-sélection. La post-sélection existe
aussi pour les probabilités classiques. Ce qui est spécifique de l’intrication
quantique est la violation des inégalités de Bell. Le schéma de la figure 11.19
est à la base des relais quantiques susceptibles de transporter l’information
quantique sur de longues distances.
11.6 Exercices
11.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques
1. On construit avec les éléments de matrice ρ ii ,ρ ij ,ρ ji et ρ jj d’un opérateur statistique ρ dans un espace de dimension d la matrice 2 × 2
A =
ρ ii ρ ij
ρ ji ρ jj
Montrer que ρ ii ≥ 0, ρ jj ≥ 0 et que det A ≥ 0,d’où|ρ ij |
2 ≤ ρ ii ρ jj . En déduire
également que si ρ ii =0,a l o r sρ ij = ρ
∗
ji =0.
2. Montrer que s’il existe un test maximal donnant une probabilité de
100 % pour l’état physique décrit par un opérateur statistique ρ, alors cet
état est un cas pur. Montrer également que si ρ décrit un cas pur, et que l’on
peut écrire
ρ = λρ
′ +(1− λ)ρ
′′
0 ≤ λ ≤ 1
alors ρ = ρ
′ = ρ
′′
.
3. Montrer que Trρ
2 =1est une condition nécessaire et suffisante pour
un cas pur.
4. Vérifier que ρ défini par (11.8) obéit bien à toutes les propriétés d’un
opérateur statistique.
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en raison de (11.145). En utilisant pour chaque photon des axes d’orientations
différentes, on pourra même vérifier la borne de Cirelson et en déduire que les
photons A et B étaient dans un état intriqué |Ψ
(+)
AB . Le même argument est
valable pour la paire (CD).
Cependant, supposons maintenant que la mesure de la paire (BC) soit
faite dans la base de Bell (11.137). Lorsque la mesure est effectuée, il y a une
chance sur 4 pour que la paire soit trouvée dans un des états de Bell (11.137),
par exemple dans l’état de Bell |Ψ
(+)
BC , et on peut trier les résultats (BC)
selon le type d’état de Bell enregistré. D’après (11.146), toutes les paires (AD)
correspondant à un résultat |Ψ
(+)
BC seront alors intriquées dans l’état |Ψ
(+)
AD ,et
la comparaison des mesures de polarisation sur A et D permettra de le vérifier.
Autrement dit, les mesures des polarisations des photons A et D, qui étaient
a priori des suites aléatoires de 0 et de 1, prennent une signification précise,
et différente selon le type de mesure effectué sur les deux autres photons,
postérieurement à l’enregistrement des polarisations de la paire (AD) :c ’ e s t
ce que l’on appelle une procédure de post-sélection. La post-sélection existe
aussi pour les probabilités classiques. Ce qui est spécifique de l’intrication
quantique est la violation des inégalités de Bell. Le schéma de la figure 11.19
est à la base des relais quantiques susceptibles de transporter l’information
quantique sur de longues distances.
11.6 Exercices
11.6.1 Propriétés des opérateurs statistiques
1. On construit avec les éléments de matrice ρ ii ,ρ ij ,ρ ji et ρ jj d’un opérateur statistique ρ dans un espace de dimension d la matrice 2 × 2
A =
ρ ii ρ ij
ρ ji ρ jj
Montrer que ρ ii ≥ 0, ρ jj ≥ 0 et que det A ≥ 0,d’où|ρ ij |
2 ≤ ρ ii ρ jj . En déduire
également que si ρ ii =0,a l o r sρ ij = ρ
∗
ji =0.
2. Montrer que s’il existe un test maximal donnant une probabilité de
100 % pour l’état physique décrit par un opérateur statistique ρ, alors cet
état est un cas pur. Montrer également que si ρ décrit un cas pur, et que l’on
peut écrire
ρ = λρ
′ +(1− λ)ρ
′′
0 ≤ λ ≤ 1
alors ρ = ρ
′ = ρ
′′
.
3. Montrer que Trρ
2 =1est une condition nécessaire et suffisante pour
un cas pur.
4. Vérifier que ρ défini par (11.8) obéit bien à toutes les propriétés d’un
opérateur statistique.