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Physique quantique : Fondements
Ces quatre états appartiennent à un équateur de la sphère de Poincaré-Bloch,
et on se pose la question du meilleur clonage possible pour les états de cet
équateur, dont l’opérateur statistique est
ρ(φ)=|χ(φ)χ(φ)| =
1
2
I +cosφσ x +sinφσ y
(11.116)
On peut montrer que le meilleur clonage possible se passe de spin auxiliaire
et fonctionne de la façon suivante
|0 A 0 B →|0 A 0 B
|1 A 0 B →cos η |1 A 0 B +sinη |0 A 1 B
(11.117)
avec 0 ≤ η ≤ π/2. C’est bien une transformation unitaire dans H A ⊗H B ,q u i
transforme des états orthogonaux en états orthogonaux. On calcule aisément
les fidélités (exercice 11.6.11) avec pour résultat
F A =
1
2
(1 + cos η)
F B =
1
2
(1 + sin η)
(11.118)
Si ce clonage est utilisé par Ève, son meilleur choix possible est F A = F B : elle
renvoie à Bob un état aussi proche que possible de l’original, tout en gardant
pour elle une copie aussi proche que possible de l’original, ce qui correspond
à un clonage symétrique plus performant que le clonage universel BH
F sym =
1
2
1+
1
√
2
≃ 0.8535 >
5
6
(11.119)
11.5.2 Calcul quantique
Le second sujet de cette section est le calcul quantique. En théorie de
l’information, l’unité élémentaire est le bit, qui peut prendre deux valeurs,
conventionnellement 0 ou 1. Ce bit est codé classiquement par un système à
deux états, par exemple un condensateur qui peut être non chargé (valeur 0
du bit) ou chargé (valeur 1 du bit). Un bit d’information implique typiquement le transfert de 10
4
à 10
5
électrons dans la mémoire vive d’un ordinateur
actuel. Une question intéressante est alors : est-il possible de coder l’information sur des électrons (ou d’autres particules) isolé(e)s ? Ainsi que nous
l’avons déjà vu, un système quantique à deux états est susceptible de coder
un bit d’information : par exemple, nous avons utilisé au § 3.1.3 deux états de
polarisation orthogonaux d’un photon pour coder un bit. Pour fixer les idées,
nous allons plutôt utiliser les deux états de polarisation d’un spin 1/2 : par
convention l’état de spin up |+ correspondra à la valeur 0, l’état de spin down
|−− à la valeur 1, et, suivant (11.110), |+≡| 0, |−− ≡ |1. Mais, contrairement au système classique qui ne peut exister que dans les états 0 ou 1, le
système quantique peut exister dans des états de superposition linéaire |ϕ de
|0 et |1
|ϕ = λ|0 + µ|1| λ|
2 + |µ|
2 =1
(11.120)
Physique quantique : Fondements
Ces quatre états appartiennent à un équateur de la sphère de Poincaré-Bloch,
et on se pose la question du meilleur clonage possible pour les états de cet
équateur, dont l’opérateur statistique est
ρ(φ)=|χ(φ)χ(φ)| =
1
2
I +cosφσ x +sinφσ y
(11.116)
On peut montrer que le meilleur clonage possible se passe de spin auxiliaire
et fonctionne de la façon suivante
|0 A 0 B →|0 A 0 B
|1 A 0 B →cos η |1 A 0 B +sinη |0 A 1 B
(11.117)
avec 0 ≤ η ≤ π/2. C’est bien une transformation unitaire dans H A ⊗H B ,q u i
transforme des états orthogonaux en états orthogonaux. On calcule aisément
les fidélités (exercice 11.6.11) avec pour résultat
F A =
1
2
(1 + cos η)
F B =
1
2
(1 + sin η)
(11.118)
Si ce clonage est utilisé par Ève, son meilleur choix possible est F A = F B : elle
renvoie à Bob un état aussi proche que possible de l’original, tout en gardant
pour elle une copie aussi proche que possible de l’original, ce qui correspond
à un clonage symétrique plus performant que le clonage universel BH
F sym =
1
2
1+
1
√
2
≃ 0.8535 >
5
6
(11.119)
11.5.2 Calcul quantique
Le second sujet de cette section est le calcul quantique. En théorie de
l’information, l’unité élémentaire est le bit, qui peut prendre deux valeurs,
conventionnellement 0 ou 1. Ce bit est codé classiquement par un système à
deux états, par exemple un condensateur qui peut être non chargé (valeur 0
du bit) ou chargé (valeur 1 du bit). Un bit d’information implique typiquement le transfert de 10
4
à 10
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électrons dans la mémoire vive d’un ordinateur
actuel. Une question intéressante est alors : est-il possible de coder l’information sur des électrons (ou d’autres particules) isolé(e)s ? Ainsi que nous
l’avons déjà vu, un système quantique à deux états est susceptible de coder
un bit d’information : par exemple, nous avons utilisé au § 3.1.3 deux états de
polarisation orthogonaux d’un photon pour coder un bit. Pour fixer les idées,
nous allons plutôt utiliser les deux états de polarisation d’un spin 1/2 : par
convention l’état de spin up |+ correspondra à la valeur 0, l’état de spin down
|−− à la valeur 1, et, suivant (11.110), |+≡| 0, |−− ≡ |1. Mais, contrairement au système classique qui ne peut exister que dans les états 0 ou 1, le
système quantique peut exister dans des états de superposition linéaire |ϕ de
|0 et |1
|ϕ = λ|0 + µ|1| λ|
2 + |µ|
2 =1
(11.120)