11. Intrication et non localité quantiques
437
On note que F =1si ρ = |χχ|,e tF =0si ρ = |ϕϕ| avec ϕ|χ =0 ,
c’est-à-dire si |ϕ est orthogonal à |χ.
Le cas le plus étudié, et le plus important en pratique, est celui du spin 1/2.
Il sera commode, dans la suite de cette section, d’utiliser les notations de
l’information quantique déjà introduites en (11.72)
|+→|0| − − → | 1
(11.110)
Le clonage optimal a été trouvé par Buzek et Hillery [1996] (BH). On peut
toujours choisir comme page blanche |ϕ = |0, et le clonage approché BH
fonctionne en prenant aussi un spin 1/2 comme système C (les ⊗ ont été
supprimés pour alléger l’écriture)
U |χ00 =
2
3
|χχχ ⊥ −
1
6
|χχ ⊥ + |χ ⊥ χ
|χ
(11.111)
où |χ ⊥ est l’état orthogonal à |χ
|χ = λ|0 + µ|1| χ ⊥ = −µ
∗ |0 + λ
∗ |1
(11.112)
L’opérateur statistique de A s’obtient par une trace partielle
ρ A =T r BC
U |χ00χ00|U
†
Si |χ est caractérisé par son vecteur de Bloch b, l’opérateur statistique de A
sera (exercice 6.6.10)
ρ A =
5
6
|χχ| +
1
6
|χ ⊥ χ ⊥ | =
1
2
I +
2
3
b
= ρ B
(11.113)
La première des équations (11.113) montre que la fidélité du clonage est
F =5 /6. La preuve que cette fidélité est optimale, est assez longue, et le
lecteur est renvoyé à l’article original de Buzek et Hillery [1996]. On peut
montrer qu’une fidélité meilleure que 5/6 permettrait la communication supraluminique : on peut donc voir la borne supérieure F≤5/6 comme une
condition de compatibilité entre la mécanique quantique et la relativité.
Le clonage approché BH est optimal et universel : F ne dépend pas de
l’état |χ que l’on souhaite cloner. Il est également symétrique : ρ A = ρ B .Ilest
possible d’obtenir une meilleure fidélité si on se limite à une classe particulière
de vecteurs de H A . Un cas important pour la sécurité de la cryptographie
quantique est le clonage d’états de la forme
|χ(φ) =
1
√
2
|0 + e
iφ |1
(11.114)
Les deux bases complémentaires utilisées en cryptographie quantique correspondent à des vecteurs de base construits avec (φ =0 ,φ = π) et
(φ = π/2,φ =3π/2), c’est-à-dire aux vecteurs propres de σ x et σ y
|±x =
1
√
2
|0±|1
|±y =
1
√
2
|0±i|1
(11.115)
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On note que F =1si ρ = |χχ|,e tF =0si ρ = |ϕϕ| avec ϕ|χ =0 ,
c’est-à-dire si |ϕ est orthogonal à |χ.
Le cas le plus étudié, et le plus important en pratique, est celui du spin 1/2.
Il sera commode, dans la suite de cette section, d’utiliser les notations de
l’information quantique déjà introduites en (11.72)
|+→|0| − − → | 1
(11.110)
Le clonage optimal a été trouvé par Buzek et Hillery [1996] (BH). On peut
toujours choisir comme page blanche |ϕ = |0, et le clonage approché BH
fonctionne en prenant aussi un spin 1/2 comme système C (les ⊗ ont été
supprimés pour alléger l’écriture)
U |χ00 =
2
3
|χχχ ⊥ −
1
6
|χχ ⊥ + |χ ⊥ χ
|χ
(11.111)
où |χ ⊥ est l’état orthogonal à |χ
|χ = λ|0 + µ|1| χ ⊥ = −µ
∗ |0 + λ
∗ |1
(11.112)
L’opérateur statistique de A s’obtient par une trace partielle
ρ A =T r BC
U |χ00χ00|U
†
Si |χ est caractérisé par son vecteur de Bloch b, l’opérateur statistique de A
sera (exercice 6.6.10)
ρ A =
5
6
|χχ| +
1
6
|χ ⊥ χ ⊥ | =
1
2
I +
2
3
b
= ρ B
(11.113)
La première des équations (11.113) montre que la fidélité du clonage est
F =5 /6. La preuve que cette fidélité est optimale, est assez longue, et le
lecteur est renvoyé à l’article original de Buzek et Hillery [1996]. On peut
montrer qu’une fidélité meilleure que 5/6 permettrait la communication supraluminique : on peut donc voir la borne supérieure F≤5/6 comme une
condition de compatibilité entre la mécanique quantique et la relativité.
Le clonage approché BH est optimal et universel : F ne dépend pas de
l’état |χ que l’on souhaite cloner. Il est également symétrique : ρ A = ρ B .Ilest
possible d’obtenir une meilleure fidélité si on se limite à une classe particulière
de vecteurs de H A . Un cas important pour la sécurité de la cryptographie
quantique est le clonage d’états de la forme
|χ(φ) =
1
√
2
|0 + e
iφ |1
(11.114)
Les deux bases complémentaires utilisées en cryptographie quantique correspondent à des vecteurs de base construits avec (φ =0 ,φ = π) et
(φ = π/2,φ =3π/2), c’est-à-dire aux vecteurs propres de σ x et σ y
|±x =
1
√
2
|0±|1
|±y =
1
√
2
|0±i|1
(11.115)