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Physique quantique : Fondements
1. Utilisant U
† U = I
X 1 = χ 2 ⊗ ϕ ⊗ m|χ 1 ⊗ ϕ ⊗ m = χ 2 |χ 1
2. Utilisant (11.106) et (11.107)
X 2 = χ 2 ⊗ χ 2 ⊗ m(χ 2 )|χ 1 ⊗ χ 1 ⊗ m(χ 1 ) =(χ 2 |χ 1 )
2 m(χ 2 )|m(χ 1 )
Si χ 2 |χ 1 =0, la condition X 1 = X 2 implique χ 1 ≡ χ 2 en raison de l’inégalité
de Schwartz. Si une machine à cloner peut cloner deux états orthogonaux, elle
ne peut pas cloner leurs superpositions linéaires. Cette preuve du théorème de
non-clonage explique pourquoi on ne peut pas se restreindre en cryptographie
quantique à une base d’états de polarisation orthogonaux {|x, |y} pour les
photons. C’est l’utilisation de superpositions linéaires des états de polarisation
|x et |y qui permet de détecter la présence éventuelle d’un espion.
Si le clonage quantique était possible, on pourrait communiquer à des
vitesses supérieures à celle de la lumière (communication supraluminique).
Pour le montrer sur un exemple simple, supposons qu’Alice et Bob partagent
des paires de spins 1/2 intriqués dans l’état (11.43), et que Bob mesure σ x
ou σ z : s’il mesure σ z , Alice recevra le spin A dans un des deux états |±±,e t
s’il mesure σ x dans l’un des deux états |±,x =( |+±|−−)/
√
2. Supposons
qu’Alice soit capable de faire une copie de l’état qu’elle reçoit : avec sa machine
à cloner, qui, rappelons-le, fonctionne quel que soit l’état (inconnu) qu’elle
reçoit, elle fabrique l’état | + ⊗+ si elle reçoit |+ et l’état |+,x⊗ +,x si elle
reçoit |+,x.S iB o bm e s u r eσ z , elle construit donc l’opérateur statistique
ρ z =
1
2
| + ⊗++ ⊗ +| + |−⊗−−−−⊗−|
et si Bob mesure σ x , elle construit
ρ x =
1
2
|+,x⊗ +,x+,x⊗ +,x| + |−,x⊗−,x−,x⊗−,x|
On vérifie aisément (par exemple en calculant + −|ρ x,z |+ −)queρ x = ρ z .Si
le clonage était possible, Alice pourrait connaître instantanément le système
d’axes utilisé par Bob pour sa mesure, même si elle en est distante de plusieurs
années-lumière.
Le clonage parfait étant impossible, on peut se demander s’il est possible de
cloner de façon approchée, et, dans ce cas, trouver la meilleure approximation
possible d’un état |χ compatible avec les règles de la mécanique quantique.
Il nous faut donc un critère permettant de définir la “proximité” de deux
états quantiques. Il n’existe pas de critère unique, mais le plus utilisé est la
fidélité F : si l’on essaie d’approcher un état quantique |χ par un opérateur
statistique ρ, alors la fidélité est définie par
F = χ|ρ|χ =T r(|χχ|ρ)
(11.109)
Physique quantique : Fondements
1. Utilisant U
† U = I
X 1 = χ 2 ⊗ ϕ ⊗ m|χ 1 ⊗ ϕ ⊗ m = χ 2 |χ 1
2. Utilisant (11.106) et (11.107)
X 2 = χ 2 ⊗ χ 2 ⊗ m(χ 2 )|χ 1 ⊗ χ 1 ⊗ m(χ 1 ) =(χ 2 |χ 1 )
2 m(χ 2 )|m(χ 1 )
Si χ 2 |χ 1 =0, la condition X 1 = X 2 implique χ 1 ≡ χ 2 en raison de l’inégalité
de Schwartz. Si une machine à cloner peut cloner deux états orthogonaux, elle
ne peut pas cloner leurs superpositions linéaires. Cette preuve du théorème de
non-clonage explique pourquoi on ne peut pas se restreindre en cryptographie
quantique à une base d’états de polarisation orthogonaux {|x, |y} pour les
photons. C’est l’utilisation de superpositions linéaires des états de polarisation
|x et |y qui permet de détecter la présence éventuelle d’un espion.
Si le clonage quantique était possible, on pourrait communiquer à des
vitesses supérieures à celle de la lumière (communication supraluminique).
Pour le montrer sur un exemple simple, supposons qu’Alice et Bob partagent
des paires de spins 1/2 intriqués dans l’état (11.43), et que Bob mesure σ x
ou σ z : s’il mesure σ z , Alice recevra le spin A dans un des deux états |±±,e t
s’il mesure σ x dans l’un des deux états |±,x =( |+±|−−)/
√
2. Supposons
qu’Alice soit capable de faire une copie de l’état qu’elle reçoit : avec sa machine
à cloner, qui, rappelons-le, fonctionne quel que soit l’état (inconnu) qu’elle
reçoit, elle fabrique l’état | + ⊗+ si elle reçoit |+ et l’état |+,x⊗ +,x si elle
reçoit |+,x.S iB o bm e s u r eσ z , elle construit donc l’opérateur statistique
ρ z =
1
2
| + ⊗++ ⊗ +| + |−⊗−−−−⊗−|
et si Bob mesure σ x , elle construit
ρ x =
1
2
|+,x⊗ +,x+,x⊗ +,x| + |−,x⊗−,x−,x⊗−,x|
On vérifie aisément (par exemple en calculant + −|ρ x,z |+ −)queρ x = ρ z .Si
le clonage était possible, Alice pourrait connaître instantanément le système
d’axes utilisé par Bob pour sa mesure, même si elle en est distante de plusieurs
années-lumière.
Le clonage parfait étant impossible, on peut se demander s’il est possible de
cloner de façon approchée, et, dans ce cas, trouver la meilleure approximation
possible d’un état |χ compatible avec les règles de la mécanique quantique.
Il nous faut donc un critère permettant de définir la “proximité” de deux
états quantiques. Il n’existe pas de critère unique, mais le plus utilisé est la
fidélité F : si l’on essaie d’approcher un état quantique |χ par un opérateur
statistique ρ, alors la fidélité est définie par
F = χ|ρ|χ =T r(|χχ|ρ)
(11.109)