11. Intrication et non localité quantiques
435
rait éviter d’imposer par décret, comme le font Landau et Lifschitz [1966], une
ligne de démarcation entre un monde classique et un monde quantique, et la
nécessité de faire appel à cette frontière reste un aspect peu convaincant de
la vision de Bohr. Cela suggère que la théorie quantique n’est peut-être pas
encore sous sa forme finale.
11.5 Information quantique
Pour conclure ce chapitre, nous allons examiner quelques applications des
états intriqués à l’information quantique, c’est-à-dire la théorie du traitement
et de la transmission de l’information utilisant les spécificités de la mécanique
quantique : principe de superposition et intrication. Un ingrédient important
de l’information quantique est le théorème de non-clonage quantique que nous
allons montrer comme résultat préliminaire. Nous examinerons ensuite le calcul quantique, la téléportation et l’échange d’intrication.
11.5.1 Théorème de non-clonage quantique
La condition indispensable pour que la méthode de cryptographie quantique décrite au § 3.1.3 soit parfaitement sûre est que l’espionne Ève ne puisse
pas reproduire (cloner) l’état de la particule envoyée par Bob à Alice tout en
conservant pour elle le résultat de sa mesure, ce qui rendrait l’interception du
message indétectable. Que ceci ne soit pas possible est garanti par le théorème
de non-clonage quantique. Pour montrer ce théorème, supposons que l’on souhaite dupliquer un état quantique inconnu |χ 1 ∈H A .L es y s t è m es u rl e q u e l
on veut imprimer la copie est noté |ϕ∈H B ,oùd A = d B : |ϕ est l’équivalent
de la feuille blanche. Par exemple, si l’on veut cloner un état de spin 1/2 |χ 1 ,
|ϕ est aussi un état de spin 1/2. Afin de donner le traitement le plus général
possible, nous supposons que nous disposons d’un système quantique auxiliaire
25
dans un état |m∈H C . L’évolution quantique la plus générale dans
H A ⊗H B ⊗H C est donnée par un opérateur unitaire U , et nous souhaitons
que cet opérateur ait l’action hypothétique suivante
U |χ 1 ⊗ ϕ ⊗ m = |χ 1 ⊗ χ 1 ⊗ m(χ 1 )
(11.106)
de façon à créer un clone de |χ 1 . Pour un autre original |χ 2 ,ondevraita v oir
U |χ 2 ⊗ ϕ ⊗ m = |χ 2 ⊗ χ 2 ⊗ m(χ 2 )
(11.107)
Pour montrer qu’un tel opérateur U ne peut pas exister, évaluons le produit
scalaire
X = χ 2 ⊗ ϕ ⊗ m|U
† U |χ 1 ⊗ ϕ ⊗ m
(11.108)
de deux façons différentes.
25. En anglais : “ancilla”.
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rait éviter d’imposer par décret, comme le font Landau et Lifschitz [1966], une
ligne de démarcation entre un monde classique et un monde quantique, et la
nécessité de faire appel à cette frontière reste un aspect peu convaincant de
la vision de Bohr. Cela suggère que la théorie quantique n’est peut-être pas
encore sous sa forme finale.
11.5 Information quantique
Pour conclure ce chapitre, nous allons examiner quelques applications des
états intriqués à l’information quantique, c’est-à-dire la théorie du traitement
et de la transmission de l’information utilisant les spécificités de la mécanique
quantique : principe de superposition et intrication. Un ingrédient important
de l’information quantique est le théorème de non-clonage quantique que nous
allons montrer comme résultat préliminaire. Nous examinerons ensuite le calcul quantique, la téléportation et l’échange d’intrication.
11.5.1 Théorème de non-clonage quantique
La condition indispensable pour que la méthode de cryptographie quantique décrite au § 3.1.3 soit parfaitement sûre est que l’espionne Ève ne puisse
pas reproduire (cloner) l’état de la particule envoyée par Bob à Alice tout en
conservant pour elle le résultat de sa mesure, ce qui rendrait l’interception du
message indétectable. Que ceci ne soit pas possible est garanti par le théorème
de non-clonage quantique. Pour montrer ce théorème, supposons que l’on souhaite dupliquer un état quantique inconnu |χ 1 ∈H A .L es y s t è m es u rl e q u e l
on veut imprimer la copie est noté |ϕ∈H B ,oùd A = d B : |ϕ est l’équivalent
de la feuille blanche. Par exemple, si l’on veut cloner un état de spin 1/2 |χ 1 ,
|ϕ est aussi un état de spin 1/2. Afin de donner le traitement le plus général
possible, nous supposons que nous disposons d’un système quantique auxiliaire
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dans un état |m∈H C . L’évolution quantique la plus générale dans
H A ⊗H B ⊗H C est donnée par un opérateur unitaire U , et nous souhaitons
que cet opérateur ait l’action hypothétique suivante
U |χ 1 ⊗ ϕ ⊗ m = |χ 1 ⊗ χ 1 ⊗ m(χ 1 )
(11.106)
de façon à créer un clone de |χ 1 . Pour un autre original |χ 2 ,ondevraita v oir
U |χ 2 ⊗ ϕ ⊗ m = |χ 2 ⊗ χ 2 ⊗ m(χ 2 )
(11.107)
Pour montrer qu’un tel opérateur U ne peut pas exister, évaluons le produit
scalaire
X = χ 2 ⊗ ϕ ⊗ m|U
† U |χ 1 ⊗ ϕ ⊗ m
(11.108)
de deux façons différentes.
25. En anglais : “ancilla”.