424
Physique quantique : Fondements
11.4.4 Modèle de von Neumann pour la mesure
Une application très importante de l’intrication est la théorie de la mesure
quantique due à von Neumann. Dans cette théorie, on suppose que la mesure
doit avoir comme phase initiale une interaction quantique entre le système
étudié et l’appareil de mesure, considéré, au moins au départ, comme un
objet quantique. L’appareil de mesure M e s td o n ct r a i t éc o m m eu ns y s t è m e
quantique, et on se propose d’effectuer des mesures sur un système A.S o i t
|ϕ n , une base de H A formée de vecteurs propres d’une propriété physique
A, les valeurs propres a n étant supposées non dégénérées pour simplifier la
discussion
A|ϕ n = a n |ϕ n
(11.89)
Soit |Φ n une base orthonormée de H M , Φ n |Φ m = δ nm ,e ts o i t|Φ 0 l’état
initial de l’appareil de mesure, qui est a priori quelconque, pas nécessairement
un des états |Φ n . L’état initial, avant toute interaction entre A et M,estu n
produit tensoriel |Ψ i
|Ψ i = |ϕ n ⊗ Φ 0
(11.90)
et le résultat de l’interaction est de transformer |Ψ i en |Ψ f
|Ψ i →|Ψ f = U (∞)|Ψ i = |ϕ n ⊗ Φ n
(11.91)
L’évolution (11.91) est bien compatible avec l’unitarité : elle transforme des
états orthogonaux en états orthogonaux, Ψ i |Ψ
′
i =0= ⇒⇒ Ψ f |Ψ
′
f =0 .U n
modèle explicite qui réalise cette évolution est décrit dans l’exercice 8.6.13.
L’équation (11.91) montre que si M est observé dans l’état |Φ n , cela implique
que A est dans l’état |ϕ n ,e tl er é s u l t a td el am e s u r ed eA est a n . Si l’état
initial de A est une superposition linéaire
n c n |ϕ n ,s o i t
|Ψ i =
n
c n |ϕ n
⊗|Φ 0
(11.92)
alors |Ψ f est un état intriqué
|Ψ f =
n
c n |ϕ n ⊗ Φ n
(11.93)
Dans ces conditions, l’opérateur statistique de A est alors
ρ A =T r M |Ψ f Ψ f | =
n
|c n |
2 |ϕ n ϕ n |
(11.94)
Un examen superficiel de (11.94) pourrait conduire à la conclusion suivante :
nous venons de montrer la règle de Born et la réduction du paquet d’ondes. En
effet, A est trouvé dans l’état |ϕ n avec la probabilité |c n |
2
. Bien entendu, c’est
une illusion, car en premier lieu la prescription de trace partielle utilisée pour
Physique quantique : Fondements
11.4.4 Modèle de von Neumann pour la mesure
Une application très importante de l’intrication est la théorie de la mesure
quantique due à von Neumann. Dans cette théorie, on suppose que la mesure
doit avoir comme phase initiale une interaction quantique entre le système
étudié et l’appareil de mesure, considéré, au moins au départ, comme un
objet quantique. L’appareil de mesure M e s td o n ct r a i t éc o m m eu ns y s t è m e
quantique, et on se propose d’effectuer des mesures sur un système A.S o i t
|ϕ n , une base de H A formée de vecteurs propres d’une propriété physique
A, les valeurs propres a n étant supposées non dégénérées pour simplifier la
discussion
A|ϕ n = a n |ϕ n
(11.89)
Soit |Φ n une base orthonormée de H M , Φ n |Φ m = δ nm ,e ts o i t|Φ 0 l’état
initial de l’appareil de mesure, qui est a priori quelconque, pas nécessairement
un des états |Φ n . L’état initial, avant toute interaction entre A et M,estu n
produit tensoriel |Ψ i
|Ψ i = |ϕ n ⊗ Φ 0
(11.90)
et le résultat de l’interaction est de transformer |Ψ i en |Ψ f
|Ψ i →|Ψ f = U (∞)|Ψ i = |ϕ n ⊗ Φ n
(11.91)
L’évolution (11.91) est bien compatible avec l’unitarité : elle transforme des
états orthogonaux en états orthogonaux, Ψ i |Ψ
′
i =0= ⇒⇒ Ψ f |Ψ
′
f =0 .U n
modèle explicite qui réalise cette évolution est décrit dans l’exercice 8.6.13.
L’équation (11.91) montre que si M est observé dans l’état |Φ n , cela implique
que A est dans l’état |ϕ n ,e tl er é s u l t a td el am e s u r ed eA est a n . Si l’état
initial de A est une superposition linéaire
n c n |ϕ n ,s o i t
|Ψ i =
n
c n |ϕ n
⊗|Φ 0
(11.92)
alors |Ψ f est un état intriqué
|Ψ f =
n
c n |ϕ n ⊗ Φ n
(11.93)
Dans ces conditions, l’opérateur statistique de A est alors
ρ A =T r M |Ψ f Ψ f | =
n
|c n |
2 |ϕ n ϕ n |
(11.94)
Un examen superficiel de (11.94) pourrait conduire à la conclusion suivante :
nous venons de montrer la règle de Born et la réduction du paquet d’ondes. En
effet, A est trouvé dans l’état |ϕ n avec la probabilité |c n |
2
. Bien entendu, c’est
une illusion, car en premier lieu la prescription de trace partielle utilisée pour