11. Intrication et non localité quantiques
415
Les trois particules sont observées par trois expérimentateurs, Alice (A), Bob
(B)e tC a r l a( C). Le schéma de la figure 11.9 est généralisé au cas de trois
particules, chaque expérimentateur disposant d’une orientation (ou entrée) a,
b ou c et obtient des résultats (ou sorties) A, B ou C ; comme ci-dessus les
résultats A 0 , B 0 et C 0 correspondent respectivement aux entrées a =0, b =0
et c =0 , tandis que les résultats A 1 , B 1 et C 1 correspondent aux entrées
respectives a =1, b =1et c =1(figure 11.10). La stratégie gagnante consiste
ào b t e n i r
A ⊕ B ⊕ C =0
si abc = {000}
A ⊕ B ⊕ C =1
si abc ∈{011, 101, 110}
(11.71)
ou de façon explicite
A 0 ⊕ B 0 ⊕ C 0 =0
A 0 ⊕ B 1 ⊕ C 1 =1
A 1 ⊕ B 0 ⊕ C 1 =1
A 1 ⊕ B 1 ⊕ C 0 =1
Toute stratégie déterministe où A 0 ...C 1 sont fonctions de a 0 ...c 1 est vouée
à l’échec, car les 4 équations sont incompatibles ; la somme des membres de
gauche est nulle, alors que celle des membres de droite vaut 1. Il est facile
de montrer que toute stratégie de communication préétablie probabiliste est
limitéee à un taux de succès de 75 % (exercice 11.6.9). En revanche, il existe
une stratégie quantique dont le taux de succès est de 100 % ! Nous allons
utiliser non seulement les notations de l’informatique classique, mais aussi
celles de l’informatique quantique (section 11.5). Au lieu de noter les états de
base |+ et |−−, nous les notons |0 et |1, ce qui est la notation usuelle pour
des bits quantiques, ou qubits
|+→|0| − − → | 1
(11.72)
Supposons qu’Alice, Bob et Carla partagent un état intriqué à trois particules,
appelé état GHZ
|Ψ =
1
2
(|000−|011−|101−|111)
(11.73)
Si les trois bits d’entrée sont abc = {000}, alors les trois expérimentateurs
mesurent dans la base {|0, |1}, et on constate sur (11.73) que le résultat
est A 0 ⊕ B 0 ⊕ C 0 =0dans tous les cas : par exemple, le second terme de
(11.73) donne 0 ⊕ 1 ⊕ 1=0.S i{abc} = {011}, alors Bob et Carla appliquent
l’opérateur de Hadamard H, que nous reverrons dans la section 11.5
H|0 =
1
√
2
(|0 + |1)H |1 =
1
√
2
(|0−|1)
à leurs états respectifs, avec pour résultat
I A ⊗ H B ⊗ H C |Ψ =
1
2
(|001 + |010−|100 + |111)
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Les trois particules sont observées par trois expérimentateurs, Alice (A), Bob
(B)e tC a r l a( C). Le schéma de la figure 11.9 est généralisé au cas de trois
particules, chaque expérimentateur disposant d’une orientation (ou entrée) a,
b ou c et obtient des résultats (ou sorties) A, B ou C ; comme ci-dessus les
résultats A 0 , B 0 et C 0 correspondent respectivement aux entrées a =0, b =0
et c =0 , tandis que les résultats A 1 , B 1 et C 1 correspondent aux entrées
respectives a =1, b =1et c =1(figure 11.10). La stratégie gagnante consiste
ào b t e n i r
A ⊕ B ⊕ C =0
si abc = {000}
A ⊕ B ⊕ C =1
si abc ∈{011, 101, 110}
(11.71)
ou de façon explicite
A 0 ⊕ B 0 ⊕ C 0 =0
A 0 ⊕ B 1 ⊕ C 1 =1
A 1 ⊕ B 0 ⊕ C 1 =1
A 1 ⊕ B 1 ⊕ C 0 =1
Toute stratégie déterministe où A 0 ...C 1 sont fonctions de a 0 ...c 1 est vouée
à l’échec, car les 4 équations sont incompatibles ; la somme des membres de
gauche est nulle, alors que celle des membres de droite vaut 1. Il est facile
de montrer que toute stratégie de communication préétablie probabiliste est
limitéee à un taux de succès de 75 % (exercice 11.6.9). En revanche, il existe
une stratégie quantique dont le taux de succès est de 100 % ! Nous allons
utiliser non seulement les notations de l’informatique classique, mais aussi
celles de l’informatique quantique (section 11.5). Au lieu de noter les états de
base |+ et |−−, nous les notons |0 et |1, ce qui est la notation usuelle pour
des bits quantiques, ou qubits
|+→|0| − − → | 1
(11.72)
Supposons qu’Alice, Bob et Carla partagent un état intriqué à trois particules,
appelé état GHZ
|Ψ =
1
2
(|000−|011−|101−|111)
(11.73)
Si les trois bits d’entrée sont abc = {000}, alors les trois expérimentateurs
mesurent dans la base {|0, |1}, et on constate sur (11.73) que le résultat
est A 0 ⊕ B 0 ⊕ C 0 =0dans tous les cas : par exemple, le second terme de
(11.73) donne 0 ⊕ 1 ⊕ 1=0.S i{abc} = {011}, alors Bob et Carla appliquent
l’opérateur de Hadamard H, que nous reverrons dans la section 11.5
H|0 =
1
√
2
(|0 + |1)H |1 =
1
√
2
(|0−|1)
à leurs états respectifs, avec pour résultat
I A ⊗ H B ⊗ H C |Ψ =
1
2
(|001 + |010−|100 + |111)