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Physique quantique : Fondements
Quel que soit le terme du second membre, A 0 ⊕ B 1 ⊕ C 1 =1. L’étude des deux
autres cas est renvoyée à l’exercice 11.6.9. Le partage d’un état intriqué fait
mieux que toute stratégie de communication préétablie : il permet de passer
d’un taux de succès de 75 % à un taux de 100 %. On observe également qu’en
passant d’un état intriqué de deux particules à trois particules, on améliore
le taux de succès de ≃ 85 % à 100 %.
11.3.4 Contextualité
Nous avons vu qu’une théorie de variables additionnelles doit être non
locale si l’on exige qu’elle reproduise les réultats de la mécanique quantique.
Une autre propriété qu’une telle théorie doit posséder est la contextualité.Afin
d’expliquer ce concept, supposons que nous ayons en mécanique quantique
deux ensembles d’opérateurs hermitiens (ou propriétés physiques) compatibles
{K,L,M,...} et {K,P,Q...}, mais que les deux ensembles d’opérateurs ne
soient pas compatibles entre eux : [K, L]=[ K, P ]=[ L, M ] ... =0 , tandis
que [L, P ] =0 . Pour des opérateurs compatibles, une relation opératorielle
f (K,L,M,...)=0implique que leurs valeurs propres k,l,m... obéissent à
la même relation fonctionnelle : f (k,l,m,...)=0 . Peut-on généraliser cette
propriété si on considère des opérateurs non compatibles ? Pour répondre à
cette question, considérons le tableau suivant de 9 opérateurs formés avec les
opérateurs de spin de deux particules A et B (Mermin [1993])
K = σ
A
x
L = σ
B
x
M = σ
A
x σ
B
x = KL
P = σ
B
y
Q = σ
A
y
R = σ
A
y σ
B
y = QP
U = KP = σ
A
x σ
B
y
V = QL = σ
A
y σ
B
x
W = σ
A
z σ
B
z = UV
Ces 9 opérateurs ont pour valeurs propres ±1, les 3 opérateurs de chaque ligne
commutent et il en est de même pour ceux de chaque colonne. On devrait donc
avoir
m = kl
r = qp
w = uv
On en déduit
mrw =(kl)(qp)(uv)=(kp)(lq)(uv)=(uv)
2 =1
Ce résultat est en contradiction avec l’identité opératorielle MRW = −I.
Nous venons d’exhiber un cas particulier du théorème de Kochen-Specker :i l
est impossible d’associer leurs valeurs propres à chacun des opérateurs d’un
sous-ensemble d’opérateurs compatibles, si l’on exige que ces valeurs propres
obéissent aux mêmes relations fonctionnelles que les opérateurs. Dans une
théorie de variables additionnelles reproduisant les résultats de la mécanique
quantique, les valeurs de ces variables sont nécessairement contextuelles :
elles dépendent en général des propriétés physiques qui sont mesurées simultanément. C’est le cas par exemple de la théorie de de Broglie-Bohm :
Holland [1993]. Si on mesure une propriété physique K simultanément à L
Physique quantique : Fondements
Quel que soit le terme du second membre, A 0 ⊕ B 1 ⊕ C 1 =1. L’étude des deux
autres cas est renvoyée à l’exercice 11.6.9. Le partage d’un état intriqué fait
mieux que toute stratégie de communication préétablie : il permet de passer
d’un taux de succès de 75 % à un taux de 100 %. On observe également qu’en
passant d’un état intriqué de deux particules à trois particules, on améliore
le taux de succès de ≃ 85 % à 100 %.
11.3.4 Contextualité
Nous avons vu qu’une théorie de variables additionnelles doit être non
locale si l’on exige qu’elle reproduise les réultats de la mécanique quantique.
Une autre propriété qu’une telle théorie doit posséder est la contextualité.Afin
d’expliquer ce concept, supposons que nous ayons en mécanique quantique
deux ensembles d’opérateurs hermitiens (ou propriétés physiques) compatibles
{K,L,M,...} et {K,P,Q...}, mais que les deux ensembles d’opérateurs ne
soient pas compatibles entre eux : [K, L]=[ K, P ]=[ L, M ] ... =0 , tandis
que [L, P ] =0 . Pour des opérateurs compatibles, une relation opératorielle
f (K,L,M,...)=0implique que leurs valeurs propres k,l,m... obéissent à
la même relation fonctionnelle : f (k,l,m,...)=0 . Peut-on généraliser cette
propriété si on considère des opérateurs non compatibles ? Pour répondre à
cette question, considérons le tableau suivant de 9 opérateurs formés avec les
opérateurs de spin de deux particules A et B (Mermin [1993])
K = σ
A
x
L = σ
B
x
M = σ
A
x σ
B
x = KL
P = σ
B
y
Q = σ
A
y
R = σ
A
y σ
B
y = QP
U = KP = σ
A
x σ
B
y
V = QL = σ
A
y σ
B
x
W = σ
A
z σ
B
z = UV
Ces 9 opérateurs ont pour valeurs propres ±1, les 3 opérateurs de chaque ligne
commutent et il en est de même pour ceux de chaque colonne. On devrait donc
avoir
m = kl
r = qp
w = uv
On en déduit
mrw =(kl)(qp)(uv)=(kp)(lq)(uv)=(uv)
2 =1
Ce résultat est en contradiction avec l’identité opératorielle MRW = −I.
Nous venons d’exhiber un cas particulier du théorème de Kochen-Specker :i l
est impossible d’associer leurs valeurs propres à chacun des opérateurs d’un
sous-ensemble d’opérateurs compatibles, si l’on exige que ces valeurs propres
obéissent aux mêmes relations fonctionnelles que les opérateurs. Dans une
théorie de variables additionnelles reproduisant les résultats de la mécanique
quantique, les valeurs de ces variables sont nécessairement contextuelles :
elles dépendent en général des propriétés physiques qui sont mesurées simultanément. C’est le cas par exemple de la théorie de de Broglie-Bohm :
Holland [1993]. Si on mesure une propriété physique K simultanément à L