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Physique quantique : Fondements
une constante
22
, et l’énergie moyenne de cet oscillateur est simplement
E =
dEEexp(−βE)
dE exp(−βE)
= −
∂
∂β
ln
dE exp(−βE)
= −
∂
∂β
ln
1
β
=
1
β
= k B T
(1.14)
L’énergie moyenne de chaque onde stationnaire est k B T . Comme le nombre
d’ondes stationnaires possibles est infini, l’énergie dans l’enceinte est infinie !
On relie facilement u(ω, T ) à la densité d’énergie ǫ(ω, T ) par unité de
fréquence dans l’enceinte (exercice 1.6.2)
u(ω, T )=
c
4
ǫ(ω, T )
(1.15)
et on est ramené au calcul de ǫ(ω, T ), dont on déduit la densité d’énergie
ǫ(T )=
∞
0
dωǫ(ω, T )
(1.16)
La thermodynamique permet de montrer la loi d’échelle
ǫ(ω, T )=ω
3 ϕ
ω
T
(1.17)
où la fonction ϕ est indépendante de la forme de l’enceinte, mais elle ne dit
rien sur la forme explicite de la fonction ϕ. Essayons de la déterminer à un
facteur multiplicatif près par analyse dimensionnelle : a priori, ǫ(ω, T ) ne
peut dépendre que de ω,d ec, de l’énergie disponible dans le problème k B T
et d’une constante sans dimension A que l’analyse dimensionnelle ne permet
pas de fixer. La seule solution possible est (exercice 1.6.2)
ǫ(ω, T )=Ac
−3 (k B T )ω
2 = ω
3
Ac
−3
k B T )
ω
(1.18)
ce qui est bien de la forme (1.17). On retrouve le fait que la densité d’énergie
dans l’enceinte est infinie
ǫ(T )=
∞
0
dωǫ(ω, T )=Ac
−3 (k B T )
∞
0
ω
2 dω =+∞
La mécanique statistique permet de calculer A (exercice 1.6.2), mais ne résout
en rien le problème de l’énergie infinie, et l’analyse dimensionnelle suggère
22. L’intégration sur l’espace de phase pour l’oscillateur harmonique classique à une
dimension donne en effet, pour une fonction arbitraire f (E) (exercice 1.6.2)
d xdpδ
E −
p 2
2m
−
1
2
mω
2 x
2
f (E)=
2π
ω
f (E)
x et p étant la position et l’impulsion.