1. Introduction
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fortement que le rayonnement du corps noir ne peut s’expliquer que si l’on
accepte d’introduire une nouvelle constante physique.
Parmi toutes les hypothèses conduisant au résultat inacceptable d’une
énergie infinie, Planck remet en cause celle qui conduit au calcul (1.14) de
l’énergie moyenne d’un oscillateur
23
: au lieu de supposer que E peut prendre
toutes les valeurs possibles entre zéro et l’infini, il admet que cette énergie ne
peut prendre que des valeurs discrètes E n qui sont des multiples entiers de la
fréquence ω de l’oscillateur, avec un coefficient de proportionnalité
E n = n(ω)
n =0, 1, 2, ...
(1.19)
La constante est appelée constante de Planck ; plus exactement, c’est la
constante de Planck h divisée
24 par 2π : = h/(2π). La constante de Planck
se mesure en J.s : elle a pour dimension ML
2 T
−1 et elle a pour valeur numérique
≃ 1.055 × 10
−34 J.so uh ≃ 6.63 × 10
−34 J.s
D’après la loi de Boltzmann, la probabilité normalisée d’observer une énergie
E n est
p(E n )=e
−βnω
∞
n=0
e
−βnω
−1
=exp(−βnω)(1 − exp(−βω)) (1.20)
Pour obtenir (1.20), on remarque que la sommation sur n est celle d’une
série géométrique. Posant x =e x p ( −βω), on calcule aisément la valeur
moyenne E de l’énergie d’un oscillateur
E =( 1 − x)
∞
n=0
(nω)x
n =(1− x)ωx
d
dx
∞
n=0
x
n
=( 1 − x)ωx
d
dx
1
1 − x
=
ωx
1 − x
=
ω
exp(βω) − 1
(1.21)
Cette formule permet de calculer la densité d’énergie (exercice 1.6.2)
ǫ(ω, T )=
π 2 c 3
ω
3
exp(βω) − 1
(1.22)
23. En réalité, Planck a appliqué son raisonnement à un “résonateur” dont la nature
reste obscure. Considérer les vibrations du champ électromagnétique est plus simple et plus
direct, c’est ce que fait Einstein en 1905, mais constitue une entorse à la vérité historique.
Notre présentation “historique”, tout comme celle de la plupart des manuels, tient plus du
conte de fées (Kragh [2000]) que de l’histoire réelle. De même, il ne semble pas que les
physiciens de la fin du dix-neuvième siècle aient été préoccupés par le problème de l’énergie
infinie, ou par l’absence d’une constante fondamentale.
24. Nous utiliserons systématiquement et non h, et par abus de langage nous appellerons la constante de Planck ; la relation E = ω est bien sûr équivalente à E = hν,o ù
ν est la fréquence ordinaire, mesurée en Hz, et ω la fréquence angulaire, ou pulsation, mesurée en rad.s −1 : ω =2 πν. Comme nous utiliserons pratiquement toujours ω et jamais ν,
par abus de langage nous appellerons ω la fréquence.
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fortement que le rayonnement du corps noir ne peut s’expliquer que si l’on
accepte d’introduire une nouvelle constante physique.
Parmi toutes les hypothèses conduisant au résultat inacceptable d’une
énergie infinie, Planck remet en cause celle qui conduit au calcul (1.14) de
l’énergie moyenne d’un oscillateur
23
: au lieu de supposer que E peut prendre
toutes les valeurs possibles entre zéro et l’infini, il admet que cette énergie ne
peut prendre que des valeurs discrètes E n qui sont des multiples entiers de la
fréquence ω de l’oscillateur, avec un coefficient de proportionnalité
E n = n(ω)
n =0, 1, 2, ...
(1.19)
La constante est appelée constante de Planck ; plus exactement, c’est la
constante de Planck h divisée
24 par 2π : = h/(2π). La constante de Planck
se mesure en J.s : elle a pour dimension ML
2 T
−1 et elle a pour valeur numérique
≃ 1.055 × 10
−34 J.so uh ≃ 6.63 × 10
−34 J.s
D’après la loi de Boltzmann, la probabilité normalisée d’observer une énergie
E n est
p(E n )=e
−βnω
∞
n=0
e
−βnω
−1
=exp(−βnω)(1 − exp(−βω)) (1.20)
Pour obtenir (1.20), on remarque que la sommation sur n est celle d’une
série géométrique. Posant x =e x p ( −βω), on calcule aisément la valeur
moyenne E de l’énergie d’un oscillateur
E =( 1 − x)
∞
n=0
(nω)x
n =(1− x)ωx
d
dx
∞
n=0
x
n
=( 1 − x)ωx
d
dx
1
1 − x
=
ωx
1 − x
=
ω
exp(βω) − 1
(1.21)
Cette formule permet de calculer la densité d’énergie (exercice 1.6.2)
ǫ(ω, T )=
π 2 c 3
ω
3
exp(βω) − 1
(1.22)
23. En réalité, Planck a appliqué son raisonnement à un “résonateur” dont la nature
reste obscure. Considérer les vibrations du champ électromagnétique est plus simple et plus
direct, c’est ce que fait Einstein en 1905, mais constitue une entorse à la vérité historique.
Notre présentation “historique”, tout comme celle de la plupart des manuels, tient plus du
conte de fées (Kragh [2000]) que de l’histoire réelle. De même, il ne semble pas que les
physiciens de la fin du dix-neuvième siècle aient été préoccupés par le problème de l’énergie
infinie, ou par l’absence d’une constante fondamentale.
24. Nous utiliserons systématiquement et non h, et par abus de langage nous appellerons la constante de Planck ; la relation E = ω est bien sûr équivalente à E = hν,o ù
ν est la fréquence ordinaire, mesurée en Hz, et ω la fréquence angulaire, ou pulsation, mesurée en rad.s −1 : ω =2 πν. Comme nous utiliserons pratiquement toujours ω et jamais ν,
par abus de langage nous appellerons ω la fréquence.