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Physique quantique : Fondements
exemple, ne puissent pas être influencés par l’orientation b choisie par Bob
p(A|a, b) ≡
B
p(A, B|a, b)=p(A|a)
(11.64)
La probabilité p(A|a) ne dépend que de a,e tp a sd eb. Mais cela n’implique
en aucun cas une factorisation
p(A, B|a, b)=p(A|a)p(B|b)
car une telle factorisation exclurait toute corrélation entre A et B !Ilfautbien
comprendre la différence avec la factorisation dans (11.58) : c’est le caractère
supposé complet de la description (λ, X) qui entraîne la factorisation à λ
fixé, et les corrélations sont introduites par l’intégration sur λ. La condition
(11.64) exprime la causalité relativiste et la mécanique quantique obéit à cette
causalité. En effet, la probabilité pour Alice de trouver le résultat A = ±1
dans la mesure de ( σ · ˆ
a) est donnée par la valeur moyenne du projecteur P
A
a
s u rl es o u se s p a c ed el av a l e u rp r o p r eA
P
A
a =
1
2
(I + AA σ · ˆ
a)
et p(A|a) s’écrit lorsque le vecteur d’état des deux spins 1/2 est |Ψ
p(A|a)=Ψ|P
A
a ⊗ I B |Ψ =T r(ρ A P
A
a )
(11.65)
où I B est l’opérateur identité pour le spin B et ρ A l’opérateur statistique
réduit du spin A
ρ A =T r B (|ΨΨ|)
Le résultat (11.65) ne dépend que de paramètres contrôlés par Alice. Jusqu’à la
fin de cette section, il sera commode d’utiliser les notations de l’informatique,
auxquelles nous reviendrons dans la section 11.5. Au lieu d’attribuer les valeurs
±1 à A et B, nous allons choisir les valeurs A, B =1ou A, B =0,desorteque
A et B prennent les valeurs 0 ou 1 d’un bit classique. De même, au lieu de a
et a
′
, nous utiliserons a =0pour a et a =1pour a
′
, de sorte que l’orientation
des axes est aussi spécifiée par la valeur d’un bit classique. Nous appellerons
A 0 et A 1 les résultats correspondant à a 0 et a 1 : A → A 0 , A
′ → A 1 . Avec ces
notations, il est immédiat de réécrire l’inégalité BCHSH (11.62) sous la forme
(Buhrman et al. [2010])
R =
1
4
a,b
p(A ⊕ B = ab|a, b) ≤
3
4
(11.66)
où ⊕ est l’addition modulo 2
0 ⊕ 0=1⊕ 1=0
0⊕ 1=1⊕ 0=1
(11.67)
Physique quantique : Fondements
exemple, ne puissent pas être influencés par l’orientation b choisie par Bob
p(A|a, b) ≡
B
p(A, B|a, b)=p(A|a)
(11.64)
La probabilité p(A|a) ne dépend que de a,e tp a sd eb. Mais cela n’implique
en aucun cas une factorisation
p(A, B|a, b)=p(A|a)p(B|b)
car une telle factorisation exclurait toute corrélation entre A et B !Ilfautbien
comprendre la différence avec la factorisation dans (11.58) : c’est le caractère
supposé complet de la description (λ, X) qui entraîne la factorisation à λ
fixé, et les corrélations sont introduites par l’intégration sur λ. La condition
(11.64) exprime la causalité relativiste et la mécanique quantique obéit à cette
causalité. En effet, la probabilité pour Alice de trouver le résultat A = ±1
dans la mesure de ( σ · ˆ
a) est donnée par la valeur moyenne du projecteur P
A
a
s u rl es o u se s p a c ed el av a l e u rp r o p r eA
P
A
a =
1
2
(I + AA σ · ˆ
a)
et p(A|a) s’écrit lorsque le vecteur d’état des deux spins 1/2 est |Ψ
p(A|a)=Ψ|P
A
a ⊗ I B |Ψ =T r(ρ A P
A
a )
(11.65)
où I B est l’opérateur identité pour le spin B et ρ A l’opérateur statistique
réduit du spin A
ρ A =T r B (|ΨΨ|)
Le résultat (11.65) ne dépend que de paramètres contrôlés par Alice. Jusqu’à la
fin de cette section, il sera commode d’utiliser les notations de l’informatique,
auxquelles nous reviendrons dans la section 11.5. Au lieu d’attribuer les valeurs
±1 à A et B, nous allons choisir les valeurs A, B =1ou A, B =0,desorteque
A et B prennent les valeurs 0 ou 1 d’un bit classique. De même, au lieu de a
et a
′
, nous utiliserons a =0pour a et a =1pour a
′
, de sorte que l’orientation
des axes est aussi spécifiée par la valeur d’un bit classique. Nous appellerons
A 0 et A 1 les résultats correspondant à a 0 et a 1 : A → A 0 , A
′ → A 1 . Avec ces
notations, il est immédiat de réécrire l’inégalité BCHSH (11.62) sous la forme
(Buhrman et al. [2010])
R =
1
4
a,b
p(A ⊕ B = ab|a, b) ≤
3
4
(11.66)
où ⊕ est l’addition modulo 2
0 ⊕ 0=1⊕ 1=0
0⊕ 1=1⊕ 0=1
(11.67)