11. Intrication et non localité quantiques
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sur l’expression (11.59). Fine [1982] a montré que les deux hypothèses sont
mathématiquement équivalentes : l’existence d’une distribution de probabilité
p(A, A
′ ,B,B
′ ) implique l’équation (11.59) et réciproquement. Autrement dit,
on peut arriver à (11.42) soit en partant de la contrafactualité, soit en partant de la localité. Cependant, la démonstration fondée sur l’argument EPR
de localité est la plus intéressante car elle conduit à réviser notre conception
de l’espace-temps. Le raisonnement qui mène à (11.60) est souvent justifié par
une hypothèse supplémentaire de déterminisme, mais, ainsi que nous l’avons
vu, cette hypothèse n’est pas nécessaire : le déterminisme résulte de la localité. Enfin, on déduit de l’argumentation précédente que toute théorie de
variables additionnelles reproduisant les résultats de la physique quantique
doit être non locale. La théorie de ce type la plus développée, celle de de
Broglie/Bohm, est effectivement explicitement non locale : elle contient des
influences instantanées à distance (voir par exemple Holland [1993]).
11.3 Compléments sur les inégalités de Bell
11.3.1 Conditions sur les probabilités
De façon générale, on peut exprimer les résultats d’une expérience schématisée sur la figure 11.4 en se donnant une distribution de probabilité conditionnelle p(A, B|a, b), la probabilité d’observer les résultats A et B étant donné
les orientations a et b, ce qui donne 16 probabilités différentes. Récrivons tout
d’abord l’inégalité BCHSH (11.42) en utilisant des probabilités au lieu de valeurs moyennes, en remarquant que la valeur moyenne AB peut s’écrire en
fonction des probabilités p(A = B|a, b) et p(A = B|a, b) sous la forme
AB = p(A = B|a, b) − p(A = B|a, b)
=2p(A = B|a, b) − 1=1− 2p(A = B|a, b)
(11.61)
L’inégalité BCHSH s’écrit alors
p(A = B|a, b)+p(A = B
′ |a, b
′ )+p(A
′ = B|a
′ ,b)+p(A
′ = B
′ |a
′ ,b
′ ) ≤ 3
(11.62)
En fait, il n’est pas indispensable de préciser les axes qui sont implicites dans
l’écriture des résulats, mais nous les avons conservés par souci de cohérence
avec ce qui suit. La borne de Cirelson devient 2+
√
2 ≃ 3.41 dans le membre
de droite de (11.62) et viole bien évidemment l’inégalité BCHSH.
Examinons maintenant les conditions générales auxquelles doivent obéir
les probabilités p(A, B|a, b). La première condition est la normalisation
A,B
p(A, B|a, b)=1
(11.63)
ce qui réduit de 16 à 12 le nombre de probabilités indépendantes. Une condition essentielle est la causalité relativiste : il faut que les résultats d’Alice, par
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sur l’expression (11.59). Fine [1982] a montré que les deux hypothèses sont
mathématiquement équivalentes : l’existence d’une distribution de probabilité
p(A, A
′ ,B,B
′ ) implique l’équation (11.59) et réciproquement. Autrement dit,
on peut arriver à (11.42) soit en partant de la contrafactualité, soit en partant de la localité. Cependant, la démonstration fondée sur l’argument EPR
de localité est la plus intéressante car elle conduit à réviser notre conception
de l’espace-temps. Le raisonnement qui mène à (11.60) est souvent justifié par
une hypothèse supplémentaire de déterminisme, mais, ainsi que nous l’avons
vu, cette hypothèse n’est pas nécessaire : le déterminisme résulte de la localité. Enfin, on déduit de l’argumentation précédente que toute théorie de
variables additionnelles reproduisant les résultats de la physique quantique
doit être non locale. La théorie de ce type la plus développée, celle de de
Broglie/Bohm, est effectivement explicitement non locale : elle contient des
influences instantanées à distance (voir par exemple Holland [1993]).
11.3 Compléments sur les inégalités de Bell
11.3.1 Conditions sur les probabilités
De façon générale, on peut exprimer les résultats d’une expérience schématisée sur la figure 11.4 en se donnant une distribution de probabilité conditionnelle p(A, B|a, b), la probabilité d’observer les résultats A et B étant donné
les orientations a et b, ce qui donne 16 probabilités différentes. Récrivons tout
d’abord l’inégalité BCHSH (11.42) en utilisant des probabilités au lieu de valeurs moyennes, en remarquant que la valeur moyenne AB peut s’écrire en
fonction des probabilités p(A = B|a, b) et p(A = B|a, b) sous la forme
AB = p(A = B|a, b) − p(A = B|a, b)
=2p(A = B|a, b) − 1=1− 2p(A = B|a, b)
(11.61)
L’inégalité BCHSH s’écrit alors
p(A = B|a, b)+p(A = B
′ |a, b
′ )+p(A
′ = B|a
′ ,b)+p(A
′ = B
′ |a
′ ,b
′ ) ≤ 3
(11.62)
En fait, il n’est pas indispensable de préciser les axes qui sont implicites dans
l’écriture des résulats, mais nous les avons conservés par souci de cohérence
avec ce qui suit. La borne de Cirelson devient 2+
√
2 ≃ 3.41 dans le membre
de droite de (11.62) et viole bien évidemment l’inégalité BCHSH.
Examinons maintenant les conditions générales auxquelles doivent obéir
les probabilités p(A, B|a, b). La première condition est la normalisation
A,B
p(A, B|a, b)=1
(11.63)
ce qui réduit de 16 à 12 le nombre de probabilités indépendantes. Une condition essentielle est la causalité relativiste : il faut que les résultats d’Alice, par