11. Intrication et non localité quantiques
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et Bob, en effectuant une série de mesures avec un choix d’axes (ˆ a, ˆ b), puis
(ˆ a, ˆ b
′ ), puis (ˆ a
′ , ˆ b) et enfin (ˆ a
′ , ˆ b
′ ). Si nous notons A n et B n ,l esrésu l t at sd el a
mesure numéro n pour le choix d’axes (ˆ a, ˆ b) par exemple, la valeur moyenne
AB est tirée de
AB = lim
N →∞
1
N
N
n=1
A n B n
(11.50)
et une équation analogue est valable pour les trois autres choix d’axes.
Nous allons voir qu’en physique quantique la quantité S définie en (11.42)
peut atteindre la valeur 2
√
2, et que, par conséquent, l’inégalité BCHSH
(11.42) est violée. Cette valeur 2
√
2 est la b o rned eC i r e l so nque l’on démontre
en examinant la quantité
Q =( σ · ˆ
a) ⊗ ( σ · ˆ b)+( σ · ˆ
a) ⊗ ( σ · ˆ b
′ )+( σ · ˆ
a
′ ) ⊗ ( σ · ˆ b) − ( σ · ˆ
a
′ ) ⊗ ( σ · ˆ b
′ )
=( σ · ˆ
a) ⊗ ( σ ·
B)+( σ · ˆ
a
′ ) ⊗ ( σ ·
B
′ )
(11.51)
avec
B = ˆ b + ˆ b
′
et
B
′ = ˆ b − ˆ b
′
qui vérifient
B ·
B
′ =0
B ×
B
′ = −2 ˆ b × ˆ b
′
On observe que le module |Q| de la valeur moyenne de Q n’est autre que la
quantité S (11.42).
||Q| = ||Ψ|Q|Ψ| = ||AB + AB
′ + A
′ B−−A
′ B
′ |
où |Ψ est un état arbitraire des deux spins, qui pourrait même être un opérateur statistique ρ : Q =T r(ρQ).C a l c u l o n sQ
2
en utilisant
[( σ · ˆ
a)( σ · ˆ
a
′ )] ⊗ [( σ ·
B)( σ ·
B
′ )] = [ˆ a · ˆ
a
′ + i σ · (ˆ a × ˆ
a
′ )] ⊗ [i σ · (
B ×
B
′ )]
et deux identités analogues, avec comme résultat
Q
2 ≤≤Q
2 =4− 4Ψ|[ σ · (ˆ a × ˆ
a
′ )] ⊗ [ σ · ( ˆ b × ˆ b
′ )]|Ψ≤8
Lorsque les deux spins sont dans l’état |Φ (11.43), on déduit de (11.48)
Q
2 ≤≤Q
2 =4 [ 1 + ( ˆ
a × ˆ
a
′ ) · ( ˆ b × ˆ b
′ ]
=4 [ 1 − (ˆ a · ˆ b)(ˆ a
′ · ˆ b
′ )+(ˆ a
′ · ˆ b)(ˆ a · ˆ b
′ ]
(11.52)
La configuration de la figure 11.4 pour les orientations (ˆ a, ˆ
a
′ , ˆ b, ˆ b
′ ),a v e c
(ˆ a · ˆ b)=(ˆ a
′ · ˆ b)=(ˆ a · ˆ b
′ )=−(ˆ a
′ · ˆ b
′ )=
1
√
2
permet d’atteindre la borne de Cirelson ||Q| =
√
8=2
√
2.