11. Intrication et non localité quantiques
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Bob est rouge et vice versa. Afin de simplifier la géométrie, nous supposons
que ˆ
a et ˆ b sont situés dans le plan xOz et font un angle θ A et θ B avec l’axe Oz
(figure 11.3). Nous allons calculer la probabilité jointe p ++ que le spin d’Alice
soit up pour la direction ˆ
a et celui de Bob également up pour la direction ˆ b.
Nous savons déjà que p ++ =0si ˆ
a ˆ b, et nous nous intéressons au cas où
ˆ
a et ˆ b ont des orientations arbitraires. Nous pouvons utiliser l’invariance par
rotation de |Φ pour choisir ˆ
a parallèle à Oz (θ A =0), tandis que l’angle entre
Oz et ˆ b est égal à θ B = θ. D’après (3.59), l’état |+,θ obtenu à partir de |+
par une rotation de θ autour de Oy est
|+,θ =cos
θ
2
|+ +sin
θ
2
|−−
(11.44)
et le produit tensoriel | + ⊗+,θ vaut
| + ⊗+,θ =cos
θ
2
| + ⊗+ +sin
θ
2
| + ⊗−−
(11.45)
L’amplitude de probabilité a(|Φ→|+ ⊗+,θ) est donnée par le produit
scalaire
+ ⊗ +,θ|Φ =
1
√
2
sin
θ
2
d’où la probabilité
p ++ = p(|Φ→|+ ⊗+,θ)=
1
2
sin
2 θ
2
Pour θ =0 , nous retrouvons bien p ++ =0 . Par symétrie, nous déduisons de
cette équation
p ++ = p −− =
1
2
sin
2 θ
2
p +− = p −+ =
1
2
cos
2 θ
2
(11.46)
Si nous notons comme précédemment A = ±1 et B = ±1, les résultats des
mesures d’Alice et Bob (A, B =+1pour un spin up, A, B = −1 pour un spin
down) la valeur moyenne AB de AB se déduit de (11.46)
AB = p ++ + p −− − p +− − p −+ = − cos θ = −ˆ a · ˆ b
(11.47)
Un autre façon d’écrire ce résultat est de remarquer que A et B sont les deux
valeurs propres possibles des opérateurs σ · ˆ
a et σ · ˆ b et que, par conséquent,
AB = Φ|( σ · ˆ
a) ⊗ ( σ · ˆ b)|Φ = ( σ · ˆ
a) ⊗ ( σ · ˆ b) = −ˆ a · ˆ b
(11.48)
Le résultat (11.48) est donc la valeur moyenne dans l’état |Φ de l’opérateur à
deux particules ( σ · ˆ
a) ⊗ ( σ · ˆ b), ce qui est dans la droite ligne du point de vue
de Bohr selon lequel on doit considérer l’ensemble du dispositif expérimental,
et donc l’ensemble formé par les deux détecteurs éventuellement très éloignés