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Physique quantique : Fondements
ce qui est exactement l’équation différentielle classique (3.31) donnant la précession de Larmor. Le vecteur de Bloch suit le même mouvement qu’un spin
classique.
Dans notre discussion de la RMN au § 5.2.2, nous avons examiné un spin
isolé. En fait, les spins se trouvent dans un environnement fluctuant à la
température T et, en l’absence de champ de radiofréquences, ils sont décrits
par un opérateur statistique ρ correspondant à l’équilibre thermique dans un
champ magnétique constant
B 0
ρ ≃
1
2
I +
ω 0
2k B T
σ z
=
1
2
I +
1
2
δp σ z
(11.37)
où δp est la différence de populations δp = p + −p − (5.45) entre les niveaux |+
et |−−. Le vecteur de Bloch a pour composantes b =(0, 0,δp/2). L’application
d’une impulsion de radiofréquences résonante pendant un temps t = θ/ω 1
transforme ρ en ρ θ
ρ → ρ θ = U [R x (−θ)] ρU
† [R x (−θ)]
en raison de (5.35). Il est facile d’effectuer explicitement le produit de matrices,
mais il est plus élégant d’utiliser (2.70)
e
iθσx/2 σ z e
−iθσx/2 = σ z +
iθ
2
[σ x ,σ z ]+
1
2!
iθ
2
2
[σ x , [σ x ,σ z ]] + ···
= σ z +
iθ
2
σ y −
1
2!
θ
2 σ z + ··· = σ z cos θ + σ y sin θ
ce qui n’est pas autre chose que la loi de transformation des composantes y
et z d’un vecteur dans une rotation d’angle −θ autour de Ox. On en déduit
ρ θ =
1
2
I +
1
2
δp(σ z cos θ + σ y sin θ)
(11.38)
Dans le cas particulier d’une impulsion π/2 (θ = π/2), le résultat est
ρ π/2 =
1
2
I +
1
2
δp σ y
(11.39)
Comme la matrice σ y est non diagonale, on a créé des cohérences : la différence
de populations initiale a été convertie en cohérences. Le retour à l’équilibre
est contrôlé par le temps de relaxation T 2 . Dans le cas d’une impulsion π,o n
obtient une inversion des populations des niveaux |+ et |−− et le retour à
l’équilibre est contrôlé par le temps de relaxation T 1 . On utilise de préférence
une impulsion π/2 car en général T 2 ≪ T 1 .
Physique quantique : Fondements
ce qui est exactement l’équation différentielle classique (3.31) donnant la précession de Larmor. Le vecteur de Bloch suit le même mouvement qu’un spin
classique.
Dans notre discussion de la RMN au § 5.2.2, nous avons examiné un spin
isolé. En fait, les spins se trouvent dans un environnement fluctuant à la
température T et, en l’absence de champ de radiofréquences, ils sont décrits
par un opérateur statistique ρ correspondant à l’équilibre thermique dans un
champ magnétique constant
B 0
ρ ≃
1
2
I +
ω 0
2k B T
σ z
=
1
2
I +
1
2
δp σ z
(11.37)
où δp est la différence de populations δp = p + −p − (5.45) entre les niveaux |+
et |−−. Le vecteur de Bloch a pour composantes b =(0, 0,δp/2). L’application
d’une impulsion de radiofréquences résonante pendant un temps t = θ/ω 1
transforme ρ en ρ θ
ρ → ρ θ = U [R x (−θ)] ρU
† [R x (−θ)]
en raison de (5.35). Il est facile d’effectuer explicitement le produit de matrices,
mais il est plus élégant d’utiliser (2.70)
e
iθσx/2 σ z e
−iθσx/2 = σ z +
iθ
2
[σ x ,σ z ]+
1
2!
iθ
2
2
[σ x , [σ x ,σ z ]] + ···
= σ z +
iθ
2
σ y −
1
2!
θ
2 σ z + ··· = σ z cos θ + σ y sin θ
ce qui n’est pas autre chose que la loi de transformation des composantes y
et z d’un vecteur dans une rotation d’angle −θ autour de Ox. On en déduit
ρ θ =
1
2
I +
1
2
δp(σ z cos θ + σ y sin θ)
(11.38)
Dans le cas particulier d’une impulsion π/2 (θ = π/2), le résultat est
ρ π/2 =
1
2
I +
1
2
δp σ y
(11.39)
Comme la matrice σ y est non diagonale, on a créé des cohérences : la différence
de populations initiale a été convertie en cohérences. Le retour à l’équilibre
est contrôlé par le temps de relaxation T 2 . Dans le cas d’une impulsion π,o n
obtient une inversion des populations des niveaux |+ et |−− et le retour à
l’équilibre est contrôlé par le temps de relaxation T 1 . On utilise de préférence
une impulsion π/2 car en général T 2 ≪ T 1 .