11. Intrication et non localité quantiques
393
décrite par (2.63), l’état de spin d’une particule individuelle n’existe pas ! Un
opérateur statistique obtenu en prenant une trace partielle sur un état pur de
H AB sera appelé mélange impropre. Cette distinction entre les deux types de
mélange sera fondamentale pour la discussion de la mesure.
11.1.5 Dépendance temporelle de l’opérateur statistique
Il n’est pas difficile de trouver la loi d’évolution temporelle de l’opérateur
statistique pour un système fermé. En effet, si nous considérons d’abord l’opérateur statistique d’un cas pur, nous obtenons l’équation d’évolution suivante
pour le projecteur P ϕ (t) en utilisant (4.11)
i
d
dt
P ϕ(t) = i
d
dt
|ϕ(t)ϕ(t)|
= H(t)P ϕ(t) −P ϕ(t) H(t)=[H(t), P ϕ(t) ]
En sommant sur les probabilités p α on obtient l’équation d’évolution de ρ(t)
i
dρ(t)
dt
=[H(t),ρ(t)]
(11.33)
On obtient une loi équivalente en utilisant l’opérateur d’évolution U (t, 0)
(4.14)
ρ(t)=U (t, 0) ρ(t =0)U
−1 (t, 0)
(11.34)
Une telle évolution temporelle de l’opérateur statistique est appelée évolution
hamiltonienne,o uévolution unitaire (cf. § 4.2.1). Il est intéressant d’observer
qu’un état de désordre maximal est un invariant dynamique car [H, ρ]=0si
ρ = I/d.
Comme exemple important, écrivons la loi d’évolution de l’opérateur statistique d’un spin 1/2 dans un champ magnétique constant. Avec
B parallèle
à Oz, le hamiltonien (3.62) s’écrit
H = −
1
2
γσ z
et l’équation d’évolution (11.33) devient, en utilisant les relations de commutation (3.52) et le vecteur de Bloch b (11.22)
dρ
dt
=
1
i
[H, ρ]=−
1
2
γB(b x σ y − b y σ x )
(11.35)
ce qui est équivalent à
db x
dt
= −γBb y
db y
dt
= γBb x
db z
dt
=0
soit sous forme vectorielle
d b
dt
= −γ
B × b
(11.36)
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décrite par (2.63), l’état de spin d’une particule individuelle n’existe pas ! Un
opérateur statistique obtenu en prenant une trace partielle sur un état pur de
H AB sera appelé mélange impropre. Cette distinction entre les deux types de
mélange sera fondamentale pour la discussion de la mesure.
11.1.5 Dépendance temporelle de l’opérateur statistique
Il n’est pas difficile de trouver la loi d’évolution temporelle de l’opérateur
statistique pour un système fermé. En effet, si nous considérons d’abord l’opérateur statistique d’un cas pur, nous obtenons l’équation d’évolution suivante
pour le projecteur P ϕ (t) en utilisant (4.11)
i
d
dt
P ϕ(t) = i
d
dt
|ϕ(t)ϕ(t)|
= H(t)P ϕ(t) −P ϕ(t) H(t)=[H(t), P ϕ(t) ]
En sommant sur les probabilités p α on obtient l’équation d’évolution de ρ(t)
i
dρ(t)
dt
=[H(t),ρ(t)]
(11.33)
On obtient une loi équivalente en utilisant l’opérateur d’évolution U (t, 0)
(4.14)
ρ(t)=U (t, 0) ρ(t =0)U
−1 (t, 0)
(11.34)
Une telle évolution temporelle de l’opérateur statistique est appelée évolution
hamiltonienne,o uévolution unitaire (cf. § 4.2.1). Il est intéressant d’observer
qu’un état de désordre maximal est un invariant dynamique car [H, ρ]=0si
ρ = I/d.
Comme exemple important, écrivons la loi d’évolution de l’opérateur statistique d’un spin 1/2 dans un champ magnétique constant. Avec
B parallèle
à Oz, le hamiltonien (3.62) s’écrit
H = −
1
2
γσ z
et l’équation d’évolution (11.33) devient, en utilisant les relations de commutation (3.52) et le vecteur de Bloch b (11.22)
dρ
dt
=
1
i
[H, ρ]=−
1
2
γB(b x σ y − b y σ x )
(11.35)
ce qui est équivalent à
db x
dt
= −γBb y
db y
dt
= γBb x
db z
dt
=0
soit sous forme vectorielle
d b
dt
= −γ
B × b
(11.36)