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Physique quantique : Fondements
L’opérateur statistique (11.47) coïncide avec (11.44)
Tr B |Φ AB Φ AB | = p|+ A + A | + q|− A − A |
Si Alice est limitée à des mesures sur le spin A, elle n’a aucun moyen de
distinguer entre la situation où Bob lui envoie des spins orientés de façon
aléatoire, et celle où elle mesure le spin A d’une paire intriquée AB dans
l’état (11.30). Le vecteur |Φ AB est appelé une purification de l’opérateur
statistique ρ A . Il existe une infinité de façons d’écrire la purification, par
exemple, en utilisant la base {|+, ˆ
x B , |−, ˆ
x B } qui diagonalise σ xB .Uncalcul
immédiat permet de mettre |Φ AB sous la forme
|Φ AB =
1
√
2
(|R A ⊗ +, ˆ
x B + |L A ⊗−, ˆ
x B )
(11.31)
Supposons que Bob mesure la composante σ zB du spin B. S’il trouve la valeur
+1 (avec une probabilité p), alors Alice recevra le spin A dans l’état |+ A ,
et s’il mesure la valeur −1 (avec une probabilité q), alors Alice recevra le
spin A dans l’état |− A . Ceci correspond à la préparation (11.26) de ρ.S i ,au
contraire, Bob mesure dans la base de σ xB , Alice recevra le spin A dans l’état
|R A ou |L A avec une probabilité de 50 %, ce qui correspond à la préparation
(11.28) de ρ.
La généralisation de ces résultats a été énoncée par Gisin, Hughston, Josza
et Wootters (GHJW) sous la forme du théorème suivant énoncé sans démonstration.
Théorème GHJW. Soit un opérateur statistique ρ agissant dans H A de dimension d A et N préparations
ρ =
Dn
i=1
p
(n)
i |ϕ
(n)
i ϕ
(n)
i |
(11.32)
Il existe alors dans H AB de dimension ≥ d A × D,a v e cD =M a x [ D n ],u n
vecteur |Φ AB et D n propriétés physiques B
(n)
i
telles qu’une mesure de B
(n)
i
laisse le système A dans l’état |ϕ
(n)
i avec une probabilité p
(n)
i .
En résumé, lorsqu’Alice est limitée à des mesures sur le spin A, elle peut déterminer ρ en effectuant un nombre suffisant de mesures, mais elle ne peut pas
savoir si Bob lui envoie la préparation (11.26) de ρ ou la préparation (11.27)
(ou une autre). Elle ne peut pas non plus savoir si Bob lui envoie, par exemple,
une série spins qui se trouvent avec une probabilité p(q) dans l’état |+ (|−−),
ou si elle mesure le spin A de paires intriquées AB de deux spins dans l’état
|Φ AB (11.30). Cependant, les deux situations diffèrent radicalement. Dans le
premier cas, chacun des spins A se trouve dans un état bien défini, même s’il
est inconnu d’Alice : les opérateurs statistiques construits à partir de (11.2)
seront appelés mélanges propres. Dans le second cas, l’état de spin n’est pas
seulement inconnu d’Alice, il n’existe pas tant que Bob (ou Alice) n’ont effectué aucune mesure : dans une paire intriquée de spins 1/2, comme celle
Physique quantique : Fondements
L’opérateur statistique (11.47) coïncide avec (11.44)
Tr B |Φ AB Φ AB | = p|+ A + A | + q|− A − A |
Si Alice est limitée à des mesures sur le spin A, elle n’a aucun moyen de
distinguer entre la situation où Bob lui envoie des spins orientés de façon
aléatoire, et celle où elle mesure le spin A d’une paire intriquée AB dans
l’état (11.30). Le vecteur |Φ AB est appelé une purification de l’opérateur
statistique ρ A . Il existe une infinité de façons d’écrire la purification, par
exemple, en utilisant la base {|+, ˆ
x B , |−, ˆ
x B } qui diagonalise σ xB .Uncalcul
immédiat permet de mettre |Φ AB sous la forme
|Φ AB =
1
√
2
(|R A ⊗ +, ˆ
x B + |L A ⊗−, ˆ
x B )
(11.31)
Supposons que Bob mesure la composante σ zB du spin B. S’il trouve la valeur
+1 (avec une probabilité p), alors Alice recevra le spin A dans l’état |+ A ,
et s’il mesure la valeur −1 (avec une probabilité q), alors Alice recevra le
spin A dans l’état |− A . Ceci correspond à la préparation (11.26) de ρ.S i ,au
contraire, Bob mesure dans la base de σ xB , Alice recevra le spin A dans l’état
|R A ou |L A avec une probabilité de 50 %, ce qui correspond à la préparation
(11.28) de ρ.
La généralisation de ces résultats a été énoncée par Gisin, Hughston, Josza
et Wootters (GHJW) sous la forme du théorème suivant énoncé sans démonstration.
Théorème GHJW. Soit un opérateur statistique ρ agissant dans H A de dimension d A et N préparations
ρ =
Dn
i=1
p
(n)
i |ϕ
(n)
i ϕ
(n)
i |
(11.32)
Il existe alors dans H AB de dimension ≥ d A × D,a v e cD =M a x [ D n ],u n
vecteur |Φ AB et D n propriétés physiques B
(n)
i
telles qu’une mesure de B
(n)
i
laisse le système A dans l’état |ϕ
(n)
i avec une probabilité p
(n)
i .
En résumé, lorsqu’Alice est limitée à des mesures sur le spin A, elle peut déterminer ρ en effectuant un nombre suffisant de mesures, mais elle ne peut pas
savoir si Bob lui envoie la préparation (11.26) de ρ ou la préparation (11.27)
(ou une autre). Elle ne peut pas non plus savoir si Bob lui envoie, par exemple,
une série spins qui se trouvent avec une probabilité p(q) dans l’état |+ (|−−),
ou si elle mesure le spin A de paires intriquées AB de deux spins dans l’état
|Φ AB (11.30). Cependant, les deux situations diffèrent radicalement. Dans le
premier cas, chacun des spins A se trouve dans un état bien défini, même s’il
est inconnu d’Alice : les opérateurs statistiques construits à partir de (11.2)
seront appelés mélanges propres. Dans le second cas, l’état de spin n’est pas
seulement inconnu d’Alice, il n’existe pas tant que Bob (ou Alice) n’ont effectué aucune mesure : dans une paire intriquée de spins 1/2, comme celle