11. Intrication et non localité quantiques
391
à la sortie du filtre d’un champ magnétique oscillant qui soumet les spins à
une impulsion π de façon aléatoire, telle que l’oscillation de Rabi soit effective
avec une probabilité q, et qu’elle ne soit pas apppliquée avec une probabilité
p. Tous les résultats des mesures que peut faire Alice s’expriment en fonction
de la matrice statistique
ρ = p|++| + q|−−−−| =
p 0
0 q
(11.26)
En résumé, la préparation est la suivante : le spin apparaît dans l’état |+ avec
la probabilité p et dans l’état |−− avec la probabilité q =1− p. Afin d’exhiber
une autre préparation possible, définissons les états |R et |L, L|R =0
|R =
√
p |+ +
√
q |−−
|L =
√
p |+−
√
q |−−
(11.27)
Les projecteurs |RR| et |LL| sont
|RR| =
p
√
pq
√
pq
q
|LL| =
p
−
√
pq
−
√
pq
q
et manifestement, si Bob envoie à Alice des spins dans l’état |R ou dans l’état
|L avec une probabilité de 50 %, l’opérateur ρ est inchangé
ρ =
1
2
(|RR| + |LL|)
(11.28)
Dans cette autre préparation correspondant au même opérateur statistique,
le spin apparaît dans l’état |R avec la probabilité 1/2 et dans l’état |L avec
la probabilité 1/2. Alice n’a aucun moyen de déterminer quelle est la préparation utilisée par Bob. Un autre exemple de la non unicité des préparations
est donné dans l’exercice 11.6.5. Si l’on reprend l’exemple de la distribution
canonique (11.4), il est habituel de dire que “le système se trouve dans l’état
E r avec une probabilité p(E r )=Z
−1 exp(E r /k B T )”, mais cette affirmation,
bien qu’intuitivement commode, ne correspond qu’à une préparation particulière, et il existe une infinité d’autres préparations donnant le même opérateur
statistique.
En outre, il existe une autre situation, entièrement différente, où l’état
de spin dont dispose Alice est décrit par la matrice statistique ρ (11.26).
Supposons en effet qu’Alice et Bob disposent de paires de spins dans un état
intriqué |Φ AB ; l’opérateur statistique d’Alice est
ρ(≡ ρ A )=T r B |Φ AB Φ AB |
(11.29)
Alice effectue des mesures sur le spin A et Bob sur le spin B. Choisissons pour
|Φ AB
|Φ AB =
√
p | + A ⊗+ B +
√
q|− A ⊗− B
(11.30)
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à la sortie du filtre d’un champ magnétique oscillant qui soumet les spins à
une impulsion π de façon aléatoire, telle que l’oscillation de Rabi soit effective
avec une probabilité q, et qu’elle ne soit pas apppliquée avec une probabilité
p. Tous les résultats des mesures que peut faire Alice s’expriment en fonction
de la matrice statistique
ρ = p|++| + q|−−−−| =
p 0
0 q
(11.26)
En résumé, la préparation est la suivante : le spin apparaît dans l’état |+ avec
la probabilité p et dans l’état |−− avec la probabilité q =1− p. Afin d’exhiber
une autre préparation possible, définissons les états |R et |L, L|R =0
|R =
√
p |+ +
√
q |−−
|L =
√
p |+−
√
q |−−
(11.27)
Les projecteurs |RR| et |LL| sont
|RR| =
p
√
pq
√
pq
q
|LL| =
p
−
√
pq
−
√
pq
q
et manifestement, si Bob envoie à Alice des spins dans l’état |R ou dans l’état
|L avec une probabilité de 50 %, l’opérateur ρ est inchangé
ρ =
1
2
(|RR| + |LL|)
(11.28)
Dans cette autre préparation correspondant au même opérateur statistique,
le spin apparaît dans l’état |R avec la probabilité 1/2 et dans l’état |L avec
la probabilité 1/2. Alice n’a aucun moyen de déterminer quelle est la préparation utilisée par Bob. Un autre exemple de la non unicité des préparations
est donné dans l’exercice 11.6.5. Si l’on reprend l’exemple de la distribution
canonique (11.4), il est habituel de dire que “le système se trouve dans l’état
E r avec une probabilité p(E r )=Z
−1 exp(E r /k B T )”, mais cette affirmation,
bien qu’intuitivement commode, ne correspond qu’à une préparation particulière, et il existe une infinité d’autres préparations donnant le même opérateur
statistique.
En outre, il existe une autre situation, entièrement différente, où l’état
de spin dont dispose Alice est décrit par la matrice statistique ρ (11.26).
Supposons en effet qu’Alice et Bob disposent de paires de spins dans un état
intriqué |Φ AB ; l’opérateur statistique d’Alice est
ρ(≡ ρ A )=T r B |Φ AB Φ AB |
(11.29)
Alice effectue des mesures sur le spin A et Bob sur le spin B. Choisissons pour
|Φ AB
|Φ AB =
√
p | + A ⊗+ B +
√
q|− A ⊗− B
(11.30)