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Physique quantique : Fondements
de l’espace des états notés |+ et |−−, qui sont, par exemple, les vecteurs
propres de la composante z du spin. Dans cette base, l’opérateur statistique
est représenté par une matrice 2 × 2,lamatrice statistique ρ. Écrivons d’abord
que cette matrice est hermitienne et de trace unité : la matrice la plus générale
de ce type est
ρ =
ac
c
∗ 1 − a
(11.20)
où a est un nombre réel et c un nombre complexe. L’équation (11.20) ne définit
pas encore une matrice statistique, car en plus ρ doit être positive. Les valeurs
propres λ + et λ − de ρ vérifient
λ + + λ − =1
λ + λ − =detρ = a(1 − a) −|c|
2
et on doit avoir λ + ≥ 0 et λ − ≥ 0. La condition det ρ ≥ 0 implique que λ + et
λ − sont de même signe, et la condition λ + + λ − =1que la valeur maximale
du produit λ + λ − est 1/4, soit finalement
0 ≤ a(1 − a) −|c|
2 ≤
1
4
(11.21)
Une condition nécessaire et suffisante pour que ρ décrive un cas pur est
det ρ = a(1 − a) −|c|
2 =0
À titre d’exercice, on peut calculer a et c pour la matrice statistique décrivant
le vecteur d’état normalisé |ψ = λ|+ + µ|−− avec |λ|
2 + |µ|
2 =1, et vérifier
que le déterminant de la matrice s’annule.
Il est souvent commode de décomposer la matrice statistique (11.20) sur
la base des matrices de Pauli σ i ;e ne ff e t ,t o u t em a t r i c e2 × 2 hermitienne
peut s’écrire comme une combinaison linéaire avec des coefficients réels de la
matrice unité I et des σ i
ρ =
1
2
1+b z b x − ib y
b x + ib y 1 − b z
=
1
2
I + b · σ
(11.22)
Le vecteur b,appelévecteur de Bloch, doit vérifier | b|
2 ≤ 1 en raison de (11.21).
Le cas pur, qui correspond à | b|
2 =1, est aussi appelé complètement polarisé,
le cas b =0non polarisé, ou de polarisation nulle, et le cas 0 < | b| < 1,
partiellement polarisé. Pour interpréter physiquement le vecteur b,o nc a l c u l e
la valeur moyenne du spin
S =
1
2 σ en utilisant Tr σ i σ j =2δ ij et on en déduit
S i =T r(ρS i )=
1
2
b i
(11.23)
b/2 est donc la valeur moyenne
S du spin. Il est utile de donner une représentation géométrique du vecteur de Bloch (figure 11.1) : b est un vecteur
Physique quantique : Fondements
de l’espace des états notés |+ et |−−, qui sont, par exemple, les vecteurs
propres de la composante z du spin. Dans cette base, l’opérateur statistique
est représenté par une matrice 2 × 2,lamatrice statistique ρ. Écrivons d’abord
que cette matrice est hermitienne et de trace unité : la matrice la plus générale
de ce type est
ρ =
ac
c
∗ 1 − a
(11.20)
où a est un nombre réel et c un nombre complexe. L’équation (11.20) ne définit
pas encore une matrice statistique, car en plus ρ doit être positive. Les valeurs
propres λ + et λ − de ρ vérifient
λ + + λ − =1
λ + λ − =detρ = a(1 − a) −|c|
2
et on doit avoir λ + ≥ 0 et λ − ≥ 0. La condition det ρ ≥ 0 implique que λ + et
λ − sont de même signe, et la condition λ + + λ − =1que la valeur maximale
du produit λ + λ − est 1/4, soit finalement
0 ≤ a(1 − a) −|c|
2 ≤
1
4
(11.21)
Une condition nécessaire et suffisante pour que ρ décrive un cas pur est
det ρ = a(1 − a) −|c|
2 =0
À titre d’exercice, on peut calculer a et c pour la matrice statistique décrivant
le vecteur d’état normalisé |ψ = λ|+ + µ|−− avec |λ|
2 + |µ|
2 =1, et vérifier
que le déterminant de la matrice s’annule.
Il est souvent commode de décomposer la matrice statistique (11.20) sur
la base des matrices de Pauli σ i ;e ne ff e t ,t o u t em a t r i c e2 × 2 hermitienne
peut s’écrire comme une combinaison linéaire avec des coefficients réels de la
matrice unité I et des σ i
ρ =
1
2
1+b z b x − ib y
b x + ib y 1 − b z
=
1
2
I + b · σ
(11.22)
Le vecteur b,appelévecteur de Bloch, doit vérifier | b|
2 ≤ 1 en raison de (11.21).
Le cas pur, qui correspond à | b|
2 =1, est aussi appelé complètement polarisé,
le cas b =0non polarisé, ou de polarisation nulle, et le cas 0 < | b| < 1,
partiellement polarisé. Pour interpréter physiquement le vecteur b,o nc a l c u l e
la valeur moyenne du spin
S =
1
2 σ en utilisant Tr σ i σ j =2δ ij et on en déduit
S i =T r(ρS i )=
1
2
b i
(11.23)
b/2 est donc la valeur moyenne
S du spin. Il est utile de donner une représentation géométrique du vecteur de Bloch (figure 11.1) : b est un vecteur