11. Intrication et non localité quantiques
387
Il est intéressant de remarquer que l’opérateur statistique donne la description la plus générale possible d’un système quantique si l’on pose a priori un
petit nombre de principes généraux. En effet, Gleason a démontré le théorème
suivant :
Théorème de Gleason. Soit un ensemble de projecteurs P i agissant dans un
espace de Hilbert H et soit un test associé à chacun des P i . La probabilité
p(P i ) de réussir le test doit obéir aux conditions
0 ≤ p(P i ) ≤ 1,
p(I)=1,
ainsi qu’à
p(P i + P j )=p(P i )+p(P j )s iP i P j = δ ij P i
pour tout ensemble de P i vérifiant
i P i = I et P i P j = δ ij P i , c’est-à-dire
pour toute décomposition de H en sous-espaces orthogonaux. Alors, si la dimension de H≥3, il existe un opérateur hermitien et positif ρ de trace unité
tel que
p(P i )=T r(ρP i )
En d’autres termes, si on associe à des projecteurs des tests avec des propriétés “raisonnables”, ces probabilités doivent être données par un opérateur
statistique. L’hypothèse forte est en fait la suivante : considérons, pour simplifier les notations, un sous-espace à deux dimensions de H et deux bases
orthonormées différentes {|i, |j} et {|α, |β} qui définissent les projecteurs
P i = |ii|P j = |jj|P α = |αα|P β = |ββ|
On a, bien sûr
P i + P j = P α + P β
En mécanique quantique, ceci entraîne immédiatement l’égalité
p(P i )+p(P j )=p(P α )+p(P β )
mais il n’y a aucune raison a priori pour qu’une telle égalité soit valable dans
toute théorie imaginable.
11.1.3 Opérateur statistique pour un système à deux
niveaux
Comme exemple, nous allons donner la forme la plus générale de l’opérateur statistique d’un système quantique à deux niveaux : l’espace de Hilbert
des états est de dimension deux. Les applications sont multiples : description
de la polarisation d’une particule massive de spin 1/2, de la polarisation d’un
photon, d’un atome à deux niveaux, etc. Comme un cas très courant de système à deux niveaux est celui du spin 1/2, nous utiliserons ce cas particulier
pour fixer les notations et la terminologie. Choisissons deux vecteurs de base
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Il est intéressant de remarquer que l’opérateur statistique donne la description la plus générale possible d’un système quantique si l’on pose a priori un
petit nombre de principes généraux. En effet, Gleason a démontré le théorème
suivant :
Théorème de Gleason. Soit un ensemble de projecteurs P i agissant dans un
espace de Hilbert H et soit un test associé à chacun des P i . La probabilité
p(P i ) de réussir le test doit obéir aux conditions
0 ≤ p(P i ) ≤ 1,
p(I)=1,
ainsi qu’à
p(P i + P j )=p(P i )+p(P j )s iP i P j = δ ij P i
pour tout ensemble de P i vérifiant
i P i = I et P i P j = δ ij P i , c’est-à-dire
pour toute décomposition de H en sous-espaces orthogonaux. Alors, si la dimension de H≥3, il existe un opérateur hermitien et positif ρ de trace unité
tel que
p(P i )=T r(ρP i )
En d’autres termes, si on associe à des projecteurs des tests avec des propriétés “raisonnables”, ces probabilités doivent être données par un opérateur
statistique. L’hypothèse forte est en fait la suivante : considérons, pour simplifier les notations, un sous-espace à deux dimensions de H et deux bases
orthonormées différentes {|i, |j} et {|α, |β} qui définissent les projecteurs
P i = |ii|P j = |jj|P α = |αα|P β = |ββ|
On a, bien sûr
P i + P j = P α + P β
En mécanique quantique, ceci entraîne immédiatement l’égalité
p(P i )+p(P j )=p(P α )+p(P β )
mais il n’y a aucune raison a priori pour qu’une telle égalité soit valable dans
toute théorie imaginable.
11.1.3 Opérateur statistique pour un système à deux
niveaux
Comme exemple, nous allons donner la forme la plus générale de l’opérateur statistique d’un système quantique à deux niveaux : l’espace de Hilbert
des états est de dimension deux. Les applications sont multiples : description
de la polarisation d’une particule massive de spin 1/2, de la polarisation d’un
photon, d’un atome à deux niveaux, etc. Comme un cas très courant de système à deux niveaux est celui du spin 1/2, nous utiliserons ce cas particulier
pour fixer les notations et la terminologie. Choisissons deux vecteurs de base