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Physique quantique : Fondements
En comparant les deux expressions de ρ A , on constate que
˜ j B | ˜ i B = p i δ ij
et avec notre choix de base, il s’avère que les vecteurs {| ˜ i B } sont, tout compte
fait, orthogonaux. Pour obtenir une base orthonormée, il suffit de redéfinir
|i B = p
−1/2
i
| ˜ i B
où nous pouvons supposer p i > 0, car, comme expliqué ci-dessus, il est toujours possible de compléter H B par un ensemble de (d B − d S ) vecteurs orthonormaux. On en déduit la représentation de Schmidt (11.17) de |Φ AB .Le
calcul des opérateurs statistiques réduits est immédiat à partir de (11.16) et
(11.17)
ρ A =
i
p i |i A i A |
ρ B =
i
p i |i B i B |
(11.18)
Les probabilités p i sont identiques pour ρ A et ρ B .
Illustrons ces résultats pour un système de deux spins 1/2 dans l’état pur
(2.63) que nous réécrivons ci-dessous
|Φ =
1
√
2
(| + −− − | − +)
Si le spin A était dans un état pur, Tr B ρ devrait être un projecteur. Or ceci
n’est pas le cas comme on le vérifie explicitement en calculant ρ A à l’aide de
(11.16)
ρ A =T r B ρ AB =
1
2
|++| +
1
2
|−−−−| =
1/20
01 /2
(11.19)
Même si le système des deux spins est un état pur, l’état d’un spin individuel
est en général un mélange. En fait, l’opérateur statistique (11.19) constitue
un cas extrême de mélange, qui correspond à un désordre maximal et à une
information minimale sur le spin. On montre qu’une mesure quantitative de
l’information contenue dans l’opérateur statistique est donnée par l’entropie
de von Neumann ou entropie statistique
10 S vN = −Tr ρ ln ρ, qui est d’autant plus grande que l’information est réduite. Dans le cas d’un spin 1/2, elle
est comprise entre 0 et ln 2 et vaut 0 pour un cas pur, ln 2 pour le mélange
(11.19) : ln 2 est la valeur maximale de l’entropie de von Neumann pour un
spin 1/2, et le mélange (11.19) est bien celui qui contient l’information minimale. Si l’espace de Hilbert des états d’un système quantique est de dimension
d, l’opérateur statistique correspondant au désordre maximal est ρ = I/d,soit
une entropie de von Neumann S vN =lnd.
10. Il faut prendre garde au fait que Tr ρ ln ρ =
È
α p α ln p α , sauf si les vecteurs |ϕα
dans (11.2) sont orthogonaux entre eux.
Physique quantique : Fondements
En comparant les deux expressions de ρ A , on constate que
˜ j B | ˜ i B = p i δ ij
et avec notre choix de base, il s’avère que les vecteurs {| ˜ i B } sont, tout compte
fait, orthogonaux. Pour obtenir une base orthonormée, il suffit de redéfinir
|i B = p
−1/2
i
| ˜ i B
où nous pouvons supposer p i > 0, car, comme expliqué ci-dessus, il est toujours possible de compléter H B par un ensemble de (d B − d S ) vecteurs orthonormaux. On en déduit la représentation de Schmidt (11.17) de |Φ AB .Le
calcul des opérateurs statistiques réduits est immédiat à partir de (11.16) et
(11.17)
ρ A =
i
p i |i A i A |
ρ B =
i
p i |i B i B |
(11.18)
Les probabilités p i sont identiques pour ρ A et ρ B .
Illustrons ces résultats pour un système de deux spins 1/2 dans l’état pur
(2.63) que nous réécrivons ci-dessous
|Φ =
1
√
2
(| + −− − | − +)
Si le spin A était dans un état pur, Tr B ρ devrait être un projecteur. Or ceci
n’est pas le cas comme on le vérifie explicitement en calculant ρ A à l’aide de
(11.16)
ρ A =T r B ρ AB =
1
2
|++| +
1
2
|−−−−| =
1/20
01 /2
(11.19)
Même si le système des deux spins est un état pur, l’état d’un spin individuel
est en général un mélange. En fait, l’opérateur statistique (11.19) constitue
un cas extrême de mélange, qui correspond à un désordre maximal et à une
information minimale sur le spin. On montre qu’une mesure quantitative de
l’information contenue dans l’opérateur statistique est donnée par l’entropie
de von Neumann ou entropie statistique
10 S vN = −Tr ρ ln ρ, qui est d’autant plus grande que l’information est réduite. Dans le cas d’un spin 1/2, elle
est comprise entre 0 et ln 2 et vaut 0 pour un cas pur, ln 2 pour le mélange
(11.19) : ln 2 est la valeur maximale de l’entropie de von Neumann pour un
spin 1/2, et le mélange (11.19) est bien celui qui contient l’information minimale. Si l’espace de Hilbert des états d’un système quantique est de dimension
d, l’opérateur statistique correspondant au désordre maximal est ρ = I/d,soit
une entropie de von Neumann S vN =lnd.
10. Il faut prendre garde au fait que Tr ρ ln ρ =
È
α p α ln p α , sauf si les vecteurs |ϕα
dans (11.2) sont orthogonaux entre eux.