11. Intrication et non localité quantiques
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Un cas particulier important est celui où les états |χ i sont orthogonaux,
χ i |χ j = δ ij . Alors, les cohérences de ρ A s’annulent et on obtient un mélange
du type (11.2)
ρ A =
i
|c i |
2 |ϕ i ϕ i | si χ i |χ j = δ ij
(11.16)
Un autre résultat utile est donné par le théorème de purification de Schmidt.
D’après ce théorème, tout état |Φ AB de H A ⊗H B peut s’écrire sous la forme
|Φ AB =
dS
i=1
√
p i |i A ⊗ i B
p i > 0
i
p i =1
(11.17)
où les bases |i A et |i B dépendent de |Φ AB .L en o m b r ed S (d S ≤
Min(d A ,d B )),e s ta p p e l énombre de Schmidt. Une démonstration possible de
ce théorème fait appel à l’opérateur statistique réduit. Soit |Φ AB ∈H A ⊗H B
un état pur du système couplé AB,e ts o i t{|i A } et {|i B } deux bases othonormales de H A et H B . La décomposition la plus générale de |Φ AB sur la
base {|i A ⊗ i B } de H A ⊗H B s’écrit
|Φ AB =
iA,iB
c iAiB |i A ⊗ i B
Définissant les vecteurs | ˜ i B ∈H B par
| ˜ i B =
iB
c iAiB |i B ,
nous pouvons récrire
|Φ AB =
i
|i A ⊗ ˜ i B
Il n’y a évidemment aucune raison pour que l’ensemble {| ˜ i B } forme une base
orthonormée de H B . Choisissons, cependant, une base particulière {|i A } de
H A telle que l’opérateur statistique réduit ρ A soit diagonal
ρ A =T r B |Φ AB Φ AB | =
dS
iA=1
p i |i A i A |
Si le nombre d S de coefficients non nuls p i est inférieur à la dimension d A de
H A ,o nc o m p l è t e{|i A } par un ensemble de (d A − d S ) vecteurs orthonormés
orthogonaux au sous-espace sous-tendu par {|i A }. On utilise (11.16) pour
calculer ρ A
ρ A =
i,j
˜ j B | ˜ i B |i A j A |