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Physique quantique : Fondements
Il est important de noter que la seconde expression est indépendante de la
base : Tr B représente la trace sur l’espace H B , appelée trace partielle de l’opérateur statistique global, tandis que ρ A est l’opérateur statistique réduit,eton
peut montrer que cet opérateur donne la solution unique de (11.9) quel que
soit A (Breuer et Petruccione [2002], chapitre 2). Une application intéressante
de (11.10) est le calcul de la probabilité de trouver la valeur propre a n de A,
qui est donnée en fonction du projecteur P n sur le sous-espace de la valeur
propre a n d’une propriété physique A par une expression généralisant (4.4)
p(a n )=T r A (P n ρ A )=T r A Tr B [(P n ⊗ I B )ρ AB ]
(11.11)
Il est important de se convaincre que la prescription qui consiste à prendre
la trace partielle est une conséquence du postulat II (règle de Born), car
l’expression donnant les valeurs moyennes découle de ce postulat.
Donnons maintenant quelques exemples de calcul explicite de l’opérateur
statistique réduit lorsque l’on part d’un cas pur |Φ AB dans l’espace produit
tensoriel H A ⊗H B ,c o n s t r u i ta v e cd e sv ecteurs quelconques |ϕ i et |χ m
|Φ AB =
i
m
c im |ϕ i ⊗ χ m
(11.12)
Le calcul de l’opérateur statistique réduit est immédiat si l’on observe que
Tr |ab| =
n
n|ab|n =
n
b|nn|a = b|a
(11.13)
En écrivant l’expression explicite de |Φ AB Φ AB |, on déduit que l’opérateur
d’état réduit ρ A dans H A vaut
ρ A =T r B |Φ AB Φ AB | =
i,m,k,p
c im c
∗
kp |ϕ i ϕ k ||χ p |χ m
(11.14)
Lorsque les indices i et m sont identiques, ce qui implique que |ϕ i et χ m
sont corrélés, (11.12) se simplifie
9
|Φ AB =
d
i=1
c i |ϕ i ⊗ χ i
et ρ A est donné par
ρ A =
i
c i c
∗
j |ϕ i ϕ j ||χ j |χ i
(11.15)
9. En explicitant les indices : i → i A ,m → i B et
|Φ AB =
i
c i |ϕ i A ⊗ χ i B
.
Physique quantique : Fondements
Il est important de noter que la seconde expression est indépendante de la
base : Tr B représente la trace sur l’espace H B , appelée trace partielle de l’opérateur statistique global, tandis que ρ A est l’opérateur statistique réduit,eton
peut montrer que cet opérateur donne la solution unique de (11.9) quel que
soit A (Breuer et Petruccione [2002], chapitre 2). Une application intéressante
de (11.10) est le calcul de la probabilité de trouver la valeur propre a n de A,
qui est donnée en fonction du projecteur P n sur le sous-espace de la valeur
propre a n d’une propriété physique A par une expression généralisant (4.4)
p(a n )=T r A (P n ρ A )=T r A Tr B [(P n ⊗ I B )ρ AB ]
(11.11)
Il est important de se convaincre que la prescription qui consiste à prendre
la trace partielle est une conséquence du postulat II (règle de Born), car
l’expression donnant les valeurs moyennes découle de ce postulat.
Donnons maintenant quelques exemples de calcul explicite de l’opérateur
statistique réduit lorsque l’on part d’un cas pur |Φ AB dans l’espace produit
tensoriel H A ⊗H B ,c o n s t r u i ta v e cd e sv ecteurs quelconques |ϕ i et |χ m
|Φ AB =
i
m
c im |ϕ i ⊗ χ m
(11.12)
Le calcul de l’opérateur statistique réduit est immédiat si l’on observe que
Tr |ab| =
n
n|ab|n =
n
b|nn|a = b|a
(11.13)
En écrivant l’expression explicite de |Φ AB Φ AB |, on déduit que l’opérateur
d’état réduit ρ A dans H A vaut
ρ A =T r B |Φ AB Φ AB | =
i,m,k,p
c im c
∗
kp |ϕ i ϕ k ||χ p |χ m
(11.14)
Lorsque les indices i et m sont identiques, ce qui implique que |ϕ i et χ m
sont corrélés, (11.12) se simplifie
9
|Φ AB =
d
i=1
c i |ϕ i ⊗ χ i
et ρ A est donné par
ρ A =
i
c i c
∗
j |ϕ i ϕ j ||χ j |χ i
(11.15)
9. En explicitant les indices : i → i A ,m → i B et
|Φ AB =
i
c i |ϕ i A ⊗ χ i B
.