11. Intrication et non localité quantiques
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et calculons la valeur moyenne de A
Φ AB |A ⊗ I B |Φ AB =
j,n
i,m
c
∗
jn c im j ⊗ n|Ai ⊗ m
=
j,n
i,m
c
∗
jn c im j|A|iδ nm =
i,j
m
c
∗
jm c im j|A|i
=
i,j
ρ ij j|A|i =
i,j
ρ ij A ji =T r(ρA) ,
(11.7)
où nous avons introduit l’opérateur ρ agissant dans H A dont les éléments de
matrice ρ ij sont
ρ ij =
m
c im c
∗
jm
(11.8)
La notation ρ n’a pas été choisie par hasard : en effet, ρ possède toutes les
propriétés d’un opérateur statistique ce que l’on peut aisément vérifier à partir
de (11.8) (exercice 11.6.3) :
• ρ est hermitien : ρ = ρ
†
;
• il est de trace unité : Tr ρ =1;
• il est positif : ∀|ψ ψ|ρ|ψ≥0.
Par construction, la valeur moyenne d’une propriété physique de A est donnée par A =T r( ρA). Sauf dans le cas où |Φ AB est un produit tensoriel,
|Φ AB = |ϕ A ⊗ ϕ B , on ne peut pas attribuer un vecteur d’état au système
A, mais seulement un opérateur statistique. Une question importante se pose
alors : un opérateur statistique construit à partir de (11.3) et un opérateur
statistique construit à partir de (11.8) ont-ils une interprétation physique identique, ou bien doit-on faire une distinction ? Cette question sera discutée dans
la section 11.1.4.
Il est facile de généraliser (11.8) au cas où le sytème AB lui-même est
décrit par un opérateur statistique ρ AB , et non un vecteur d’état |Φ AB .I l
suffit comme ci-dessus de calculer la valeur moyenne d’une propriété physique
A, représentée par A ⊗ I B dans
8 H A ⊗H B
A ⊗ I B =T r AB
ρ AB [A ⊗ I B ]
=
ijmn
ρ
AB
im;jn A ji δ nm =
i,j
A ji
m
ρ
AB
im;jm =T r(Aρ A )
(11.9)
L’expression qui généralise (11.8) et qui donne l’opérateur statistique de A
est donc
ρ
A
ij =
m
ρ
AB
im;jm
ρ A =T r B ρ AB
(11.10)
8. Afin de rendre les notations plus claires, nous avons écrit les indices A et B en exposant
dans la forme matricielle de (11.9).