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Physique quantique : Fondements
Inversement, un opérateur hermitien, positif et de trace unité peut être interprété comme un opérateur statistique. En effet, comme ρ est hermitien,
on peut l’écrire sous forme diagonale (mais la préparation n’est pas unique si
certaines valeurs propres sont dégénérées)
ρ =
i
p i |ii|
(11.5)
et une préparation possible du système quantique consiste à fabriquer un
mélange d’états |i avec une probabilité p i . Cependant, si la donnée des p α et
des |ϕ α dans (11.2) détermine ρ de façon unique, l’inverse n’est pas vrai : à
un même opérateur statistique peuvent correspondre plusieurs préparations
différentes. Par exemple, si une valeur propre p i dans (11.5) est dégénérée,
nous pouvons choisir pour la préparation des combinaisons linéaires arbitraires
dans le sous-espace de cette valeur propre. En d’autres termes, un opérateur
statistique ne spécifie pas une configuration microscopique unique, mais il est
suffisant pour calculer les valeurs moyennes de propriétés physiques à l’aide de
(11.3). Nous reviendrons au § 11.1.4 sur ce point fondamental. Notons enfin
deux définitions issues de la physique atomique : dans une base où ρ n’est pas
diagonal, les éléments diagonaux ρ ii sont appelés populations et les éléments
non diagonaux ρ ij ,i = j sont appelés cohérences. Cette définition dépend bien
sûr du choix de la base, mais il existe souvent un choix naturel pour une base
privilégiée, par exemple la base {|+, |−−} dans le cas de la RMN pour un
champ
B 0 parallèle à Oz, ou la base des états fondamentaux et excités dans
le cas de l’atome à deux niveaux.
11.1.2 Opérateur statistique réduit
Nous avons obtenu l’opérateur statistique ρ (11.2) en construisant un mélange d’états |ϕ α avec des poids p α . Nous allons maintenant donner une
seconde interprétation de l’opérateur statistique en essayant de répondre à la
question suivante : supposons que le vecteur d’état d’un système AB soit un
état intriqué |Φ AB , mais que nous ayons seulement la possibilité de mesurer
les propriétés physiques de A. Comment décrire l’état quantique du seul système A ? Soit donc |Φ AB l’état intriqué le plus général, écrit dans la base
7
|i ⊗ m de H A ⊗H B
|Φ AB =
i,m
c im |i ⊗ m
i,m
|c im |
2 =1
(11.6)
Soit A, une propriété physique du système A, qui est représentée par A ⊗ I B
dans H A ⊗H B ; écrivons son action sur |Φ AB
(A ⊗ I B )|Φ AB =
i,m
c im |Ai ⊗ m
7. Afin d’alléger les notations, nous écrivons |i ⊗ m au lieu de |i A ⊗ m B .
Physique quantique : Fondements
Inversement, un opérateur hermitien, positif et de trace unité peut être interprété comme un opérateur statistique. En effet, comme ρ est hermitien,
on peut l’écrire sous forme diagonale (mais la préparation n’est pas unique si
certaines valeurs propres sont dégénérées)
ρ =
i
p i |ii|
(11.5)
et une préparation possible du système quantique consiste à fabriquer un
mélange d’états |i avec une probabilité p i . Cependant, si la donnée des p α et
des |ϕ α dans (11.2) détermine ρ de façon unique, l’inverse n’est pas vrai : à
un même opérateur statistique peuvent correspondre plusieurs préparations
différentes. Par exemple, si une valeur propre p i dans (11.5) est dégénérée,
nous pouvons choisir pour la préparation des combinaisons linéaires arbitraires
dans le sous-espace de cette valeur propre. En d’autres termes, un opérateur
statistique ne spécifie pas une configuration microscopique unique, mais il est
suffisant pour calculer les valeurs moyennes de propriétés physiques à l’aide de
(11.3). Nous reviendrons au § 11.1.4 sur ce point fondamental. Notons enfin
deux définitions issues de la physique atomique : dans une base où ρ n’est pas
diagonal, les éléments diagonaux ρ ii sont appelés populations et les éléments
non diagonaux ρ ij ,i = j sont appelés cohérences. Cette définition dépend bien
sûr du choix de la base, mais il existe souvent un choix naturel pour une base
privilégiée, par exemple la base {|+, |−−} dans le cas de la RMN pour un
champ
B 0 parallèle à Oz, ou la base des états fondamentaux et excités dans
le cas de l’atome à deux niveaux.
11.1.2 Opérateur statistique réduit
Nous avons obtenu l’opérateur statistique ρ (11.2) en construisant un mélange d’états |ϕ α avec des poids p α . Nous allons maintenant donner une
seconde interprétation de l’opérateur statistique en essayant de répondre à la
question suivante : supposons que le vecteur d’état d’un système AB soit un
état intriqué |Φ AB , mais que nous ayons seulement la possibilité de mesurer
les propriétés physiques de A. Comment décrire l’état quantique du seul système A ? Soit donc |Φ AB l’état intriqué le plus général, écrit dans la base
7
|i ⊗ m de H A ⊗H B
|Φ AB =
i,m
c im |i ⊗ m
i,m
|c im |
2 =1
(11.6)
Soit A, une propriété physique du système A, qui est représentée par A ⊗ I B
dans H A ⊗H B ; écrivons son action sur |Φ AB
(A ⊗ I B )|Φ AB =
i,m
c im |Ai ⊗ m
7. Afin d’alléger les notations, nous écrivons |i ⊗ m au lieu de |i A ⊗ m B .