11. Intrication et non localité quantiques
381
quantique a la probabilité p α (0 ≤ p α ≤ 1,
α p α =1 ) de se trouver dans
l’état |ϕ α . Les états |ϕ α sont supposés normalisés (ϕ α |ϕ α =1 ), mais
pas nécessairement orthogonaux, ϕ α |ϕ β = δ αβ . Par définition, l’opérateur
statistique ρ décrivant ce système quantique est la combinaison linéaire de
projecteurs P ϕα
ρ =
α
p α |ϕ α ϕ α | =
α
p α P ϕα
(11.2)
Cette définition assure que la valeur moyenne d’une propriété physique A s’obtient par une généralisation immédiate de (11.2). En effet, la valeur moyenne
de A dans l’état |ϕ α , A α ,e s t
A α = ϕ α |A|ϕ α
et cette valeur moyenne est affectée du poids p α dans le calcul de la valeur
moyenne globale A. La valeur moyenne dans le mélange est donc
A =
α
p α A α =
α
p α Tr(P ϕα A)=T r(ρA)
(11.3)
Les poids p α sont fixés par le problème physique considéré, et (11.2) définit
la préparation du système : chaque état |ϕ α apparaît avec la probabilité
p α . Un cas classique est celui de la mécanique statistique d’équilibre où un
système A est en équilibre avec un thermostat à la température absolue T
(ensemble canonique) : si les niveaux d’énergie du système sont E r , l’opérateur
statistique est alors
4
ρ can =
1
Z
r
e
−Er/kBT
Z =
r
e
−Er/kBT
(11.4)
Les propriétés fondamentales de ρ, qui suivent immédiatement de sa définition
(11.2) sont :
• ρ est hermitien : ρ = ρ
†
.
• ρ est de trace unité : Tr ρ =1.
• ρ est un opérateur positif
5
: ψ|ρ|ψ≥0 quel que soit |ψ,c a r
ψ|P ϕ |ψ = |ψ|ϕ|
2
.
• Une condition nécessaire et suffisante pour que ρ décrive un état pur est
ρ
2 = ρ : en effet, comme ρ = ρ
†
, la condition ρ
2 = ρ implique que ρ est
un projecteur. Comme Tr ρ =1 , la dimension de l’espace vectoriel sur
lequel projette ρ est 1
6
,e tρ est de la forme |ϕϕ|. Une autre condition
nécessaire et suffisante pour que ρ représente un cas pur est Tr ρ
2 =1
(exercice 11.6.1).
4. La somme porte sur les niveaux, pas sur les valeurs de l’énergie : si un niveau d’énergie
est doublement dégénéré, il compte deux fois.
5. Un opérateur (strictement) positif est hermitien et a des valeurs propres (strictement)
positives et réciproquement : exercice 2.4.10.
6. En général, si P est un projecteur, Tr P est égal à la dimension de l’espace vectoriel
de projection : il suffit pour le voir de se placer dans une base où P est diagonal.
381
quantique a la probabilité p α (0 ≤ p α ≤ 1,
α p α =1 ) de se trouver dans
l’état |ϕ α . Les états |ϕ α sont supposés normalisés (ϕ α |ϕ α =1 ), mais
pas nécessairement orthogonaux, ϕ α |ϕ β = δ αβ . Par définition, l’opérateur
statistique ρ décrivant ce système quantique est la combinaison linéaire de
projecteurs P ϕα
ρ =
α
p α |ϕ α ϕ α | =
α
p α P ϕα
(11.2)
Cette définition assure que la valeur moyenne d’une propriété physique A s’obtient par une généralisation immédiate de (11.2). En effet, la valeur moyenne
de A dans l’état |ϕ α , A α ,e s t
A α = ϕ α |A|ϕ α
et cette valeur moyenne est affectée du poids p α dans le calcul de la valeur
moyenne globale A. La valeur moyenne dans le mélange est donc
A =
α
p α A α =
α
p α Tr(P ϕα A)=T r(ρA)
(11.3)
Les poids p α sont fixés par le problème physique considéré, et (11.2) définit
la préparation du système : chaque état |ϕ α apparaît avec la probabilité
p α . Un cas classique est celui de la mécanique statistique d’équilibre où un
système A est en équilibre avec un thermostat à la température absolue T
(ensemble canonique) : si les niveaux d’énergie du système sont E r , l’opérateur
statistique est alors
4
ρ can =
1
Z
r
e
−Er/kBT
Z =
r
e
−Er/kBT
(11.4)
Les propriétés fondamentales de ρ, qui suivent immédiatement de sa définition
(11.2) sont :
• ρ est hermitien : ρ = ρ
†
.
• ρ est de trace unité : Tr ρ =1.
• ρ est un opérateur positif
5
: ψ|ρ|ψ≥0 quel que soit |ψ,c a r
ψ|P ϕ |ψ = |ψ|ϕ|
2
.
• Une condition nécessaire et suffisante pour que ρ décrive un état pur est
ρ
2 = ρ : en effet, comme ρ = ρ
†
, la condition ρ
2 = ρ implique que ρ est
un projecteur. Comme Tr ρ =1 , la dimension de l’espace vectoriel sur
lequel projette ρ est 1
6
,e tρ est de la forme |ϕϕ|. Une autre condition
nécessaire et suffisante pour que ρ représente un cas pur est Tr ρ
2 =1
(exercice 11.6.1).
4. La somme porte sur les niveaux, pas sur les valeurs de l’énergie : si un niveau d’énergie
est doublement dégénéré, il compte deux fois.
5. Un opérateur (strictement) positif est hermitien et a des valeurs propres (strictement)
positives et réciproquement : exercice 2.4.10.
6. En général, si P est un projecteur, Tr P est égal à la dimension de l’espace vectoriel
de projection : il suffit pour le voir de se placer dans une base où P est diagonal.