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Physique quantique : Fondements
le vecteur d’état de la particule A est |ϕ A . Mais que se passe-t-il si |Φ AB
n’est pas un produit tensoriel, ou, en d’autres termes, si |Φ AB est un état
intriqué comme l’état |Φ (2.63) ? Peut-on encore parler du vecteur d’état de
la particule A ? Nous allons voir que la réponse à cette question est négative :
en général, on ne peut pas attribuer un vecteur d’état à la particule A.C e t
exemple montre qu’il faut généraliser notre description des systèmes quantiques. Si l’état physique de la particule A peut être décrit par un vecteur de
l’espace de Hilbert, on dit que l’on a affaire à un état pur ou à un cas pur ;
ceci sera le cas si l’on dispose d’une information maximale sur la particule
A. Lorsque l’information sur A est incomplète
2
, on a affaire à un mélange,
et l’état quantique de la particule A est alors décrit mathématiquement par
un opérateur statistique
3
:l es y s t è m eAB est dans un état pur |Φ AB ,m a i s
la particule A ne l’est pas. L’introduction de l’opérateur statistique va nous
permettre de reformuler le postulat I du chapitre 4 afin de décrire des situations physiques plus générales que celles envisagées jusqu’ici, celles où l’on ne
dispose que d’une information partielle sur le système considéré.
Lorsque l’on a affaire à un cas pur, la donnée du vecteur d’état |ϕ∈H
pour décrire un système quantique est équivalente à celle du projecteur P ϕ =
|ϕϕ| sur l’état |ϕ. En un certain sens, se donner P ϕ est même préférable,
car la phase arbitraire de |ϕ disparaît : P ϕ est invariant lorsque l’on multiplie
|ϕ par un facteur de phase
|ϕ→e
iα |ϕ
et il y a donc correspondance biunivoque entre l’état physique et P ϕ ,e tn o n
pas correspondance à un facteur de phase près. La valeur moyenne d’une
propriété physique A s’exprime simplement en fonction de P ϕ . Introduisons
en effet une base orthonormée |n de H
A = ϕ|A|ϕ =
n,m
ϕ|nn|A|mm|ϕ
=
n,m
m|ϕϕ|nn|A|m
(11.1)
=
m
m|P ϕ A|m =T r(P ϕ A)
P ϕ est le cas le plus simple d’opérateur statistique. Nous pouvons maintenant
généraliser à un mélange : dans un tel cas, on sait seulement que le système
2. Cette formulation n’est pas satisfaisante car elle n’est pas intrinsèque : elle fait intervenir l’information que nous avons sur le système. Une formulation plus satisfaisante est
fondée sur les corrélations internes et externes du système, voir Mermin [1998].
3. Une fois de plus, la terminologie usuelle “opérateur densité” est particulièrement malvenue. De quelle densité s’agit-il ? En fait, la terminologie a été introduite dans le cas de
la mécanique ondulatoire (chapitre 8), où les éléments de matrice diagonaux de ρ dans la
base des états propres de l’opérateur position, r |ρ| r , ou de l’opérateur impulsion, p |ρ| p ,
sont effectivement des densités. Cependant, “opérateur densité” masque le fait que cet opérateur contient des informations essentielles sur les phases. Nous avons préféré “opérateur
statistique” ; par analogie avec vecteur d’état, “opérateur d’état” serait aussi possible.
Physique quantique : Fondements
le vecteur d’état de la particule A est |ϕ A . Mais que se passe-t-il si |Φ AB
n’est pas un produit tensoriel, ou, en d’autres termes, si |Φ AB est un état
intriqué comme l’état |Φ (2.63) ? Peut-on encore parler du vecteur d’état de
la particule A ? Nous allons voir que la réponse à cette question est négative :
en général, on ne peut pas attribuer un vecteur d’état à la particule A.C e t
exemple montre qu’il faut généraliser notre description des systèmes quantiques. Si l’état physique de la particule A peut être décrit par un vecteur de
l’espace de Hilbert, on dit que l’on a affaire à un état pur ou à un cas pur ;
ceci sera le cas si l’on dispose d’une information maximale sur la particule
A. Lorsque l’information sur A est incomplète
2
, on a affaire à un mélange,
et l’état quantique de la particule A est alors décrit mathématiquement par
un opérateur statistique
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:l es y s t è m eAB est dans un état pur |Φ AB ,m a i s
la particule A ne l’est pas. L’introduction de l’opérateur statistique va nous
permettre de reformuler le postulat I du chapitre 4 afin de décrire des situations physiques plus générales que celles envisagées jusqu’ici, celles où l’on ne
dispose que d’une information partielle sur le système considéré.
Lorsque l’on a affaire à un cas pur, la donnée du vecteur d’état |ϕ∈H
pour décrire un système quantique est équivalente à celle du projecteur P ϕ =
|ϕϕ| sur l’état |ϕ. En un certain sens, se donner P ϕ est même préférable,
car la phase arbitraire de |ϕ disparaît : P ϕ est invariant lorsque l’on multiplie
|ϕ par un facteur de phase
|ϕ→e
iα |ϕ
et il y a donc correspondance biunivoque entre l’état physique et P ϕ ,e tn o n
pas correspondance à un facteur de phase près. La valeur moyenne d’une
propriété physique A s’exprime simplement en fonction de P ϕ . Introduisons
en effet une base orthonormée |n de H
A = ϕ|A|ϕ =
n,m
ϕ|nn|A|mm|ϕ
=
n,m
m|ϕϕ|nn|A|m
(11.1)
=
m
m|P ϕ A|m =T r(P ϕ A)
P ϕ est le cas le plus simple d’opérateur statistique. Nous pouvons maintenant
généraliser à un mélange : dans un tel cas, on sait seulement que le système
2. Cette formulation n’est pas satisfaisante car elle n’est pas intrinsèque : elle fait intervenir l’information que nous avons sur le système. Une formulation plus satisfaisante est
fondée sur les corrélations internes et externes du système, voir Mermin [1998].
3. Une fois de plus, la terminologie usuelle “opérateur densité” est particulièrement malvenue. De quelle densité s’agit-il ? En fait, la terminologie a été introduite dans le cas de
la mécanique ondulatoire (chapitre 8), où les éléments de matrice diagonaux de ρ dans la
base des états propres de l’opérateur position, r |ρ| r , ou de l’opérateur impulsion, p |ρ| p ,
sont effectivement des densités. Cependant, “opérateur densité” masque le fait que cet opérateur contient des informations essentielles sur les phases. Nous avons préféré “opérateur
statistique” ; par analogie avec vecteur d’état, “opérateur d’état” serait aussi possible.