376
Physique quantique : Fondements
l’électromagnétisme est le groupe des transformations de phase (10.54), noté
U (1), qui est abélien : l’électromagnétisme est une théorie de jauge abélienne.
Lorsque le groupe de jauge est non abélien, la théorie de jauge sera dite
non abélienne. Les groupes de jauge du modèle standard de la physique des
particules élémentaires sont le groupe produit direct SU(2) × U (1) pour les
interactions électrofaibles et SU(3) pour la chromodynamique quantique, qui
sont des groupes non abéliens.
Suivant les résultats de l’exercice 3.3.7, la matrice Ω peut s’écrire en fonction
des matrices de Pauli
Ω=exp
−i q
3
a=1
Λ a
1
2
σ a
Lorsque les fonctions Λ a sont indépendantes de r, on a affaire à une symétrie
de jauge globale,e ts il e sΛ a sont fonctions de r, à une symétrie de jauge
locale. Afin d’alléger les notations, on se placera dans un système d’unités où
= m =1.
1. L’analogue du potentiel vecteur de l’électromagnétisme est un champ
vectoriel de composantes
A a dans l’espace de symétrie interne. On définit la
matrice
A par
A =
3
a=1
A a
1
2
σ a
A possède à la fois des composantes ordinaires i =(x, y, z) et des composantes
a d a n sl ’ e s p a c ed es y m é t r i ei n t e r n e:
A = {A ia }. L’expression du courant j
généralise (10.59)
j =Re
Φ
† (−i
∇−q
A)Φ
=Re
Φ
† (−i
DΦ)
où
D = −i
∇−q
A
est la dérivée covariante. Montrer que la transformation de jauge Φ → Φ
′
laisse j invariant si cette transformation de jauge est globale à condition de
transformer aussi
A en
A
′
A
′ =Ω
AΩ
−1
Si la transformation de jauge est locale, montrer que l’invariance du courant
j = j
′ =Re
Φ
′† (−i
∇−q
A
′ )Φ
′
implique la loi de transformation
A →
A
′
A
′ =Ω
AΩ
−1 −
i
q
(
∇Ω)Ω
−1
Physique quantique : Fondements
l’électromagnétisme est le groupe des transformations de phase (10.54), noté
U (1), qui est abélien : l’électromagnétisme est une théorie de jauge abélienne.
Lorsque le groupe de jauge est non abélien, la théorie de jauge sera dite
non abélienne. Les groupes de jauge du modèle standard de la physique des
particules élémentaires sont le groupe produit direct SU(2) × U (1) pour les
interactions électrofaibles et SU(3) pour la chromodynamique quantique, qui
sont des groupes non abéliens.
Suivant les résultats de l’exercice 3.3.7, la matrice Ω peut s’écrire en fonction
des matrices de Pauli
Ω=exp
−i q
3
a=1
Λ a
1
2
σ a
Lorsque les fonctions Λ a sont indépendantes de r, on a affaire à une symétrie
de jauge globale,e ts il e sΛ a sont fonctions de r, à une symétrie de jauge
locale. Afin d’alléger les notations, on se placera dans un système d’unités où
= m =1.
1. L’analogue du potentiel vecteur de l’électromagnétisme est un champ
vectoriel de composantes
A a dans l’espace de symétrie interne. On définit la
matrice
A par
A =
3
a=1
A a
1
2
σ a
A possède à la fois des composantes ordinaires i =(x, y, z) et des composantes
a d a n sl ’ e s p a c ed es y m é t r i ei n t e r n e:
A = {A ia }. L’expression du courant j
généralise (10.59)
j =Re
Φ
† (−i
∇−q
A)Φ
=Re
Φ
† (−i
DΦ)
où
D = −i
∇−q
A
est la dérivée covariante. Montrer que la transformation de jauge Φ → Φ
′
laisse j invariant si cette transformation de jauge est globale à condition de
transformer aussi
A en
A
′
A
′ =Ω
AΩ
−1
Si la transformation de jauge est locale, montrer que l’invariance du courant
j = j
′ =Re
Φ
′† (−i
∇−q
A
′ )Φ
′
implique la loi de transformation
A →
A
′
A
′ =Ω
AΩ
−1 −
i
q
(
∇Ω)Ω
−1