10. Oscillateur harmonique
375
En déduire a
† a + I = A
2
et
A =
√
N +1 =
∞
n=0
|n
√
n +1n|
On a donc exp(iΦ) = A
−1 a.Montrerqueexp(iΦ) est identique à l’opérateur E
défini en (10.47), et n’est donc pas unitaire : Φ n’existe pas comme opérateur
hermitien.
2. Montrer que les opérateurs C et S définis par
C =
1
2
E + E
†
S =
1
2i
E − E
†
sont les analogues de cos φ et sin φ. Calculer les commutateurs [C, S], [C, N ],
[S, N ] et la somme C
2 + S
2
. Quelles inégalités de Heisenberg peut-on déduire
de ces commutateurs ?
3. Calculer les valeurs moyennes et les dispersions de C et S dans un état
cohérent |z, z = |z| exp(iθ).
10.4.6 Conservation du courant en présence d’un champ
magnétique
En utilisant l’équation de Schrödinger dans un champ magnétique, montrer
que le courant j (10.59) obéit à l’équation de continuité
∂ρ
∂t
+
∇· j =0
10.4.7 Transformations de jauge non abéliennes
Les interactions fondamentales (à l’exception de la gravitation) sont toutes
fondées sur les théories de jauge non abéliennes, que nous allons définir dans
un cas élémentaire en généralisant la transformation de jauge (10.58). En
omettant la dépendance par rapport au temps afin de simplifier la discussion,
nous allons supposer que la fonction d’onde ϕ( r) est un vecteur à deux composantes Φ( r)=[ ϕ 1 ( r),ϕ 2 ( r)] dans un espace de Hilbert complexe à deux
dimensions, et qu’il existe dans cet espace une opération de symétrie, dite de
symétrie interne, qui laisse la physique invariante,
Φ( r) → Φ
′ ( r)=ΩΦ ou ϕ
′
α =
2
β=1
Ω αβ ϕ β
généralisant (10.55). Ω est une matrice 2 × 2 unitaire et de déterminant unité,
ou en d’autres termes une matrice du groupe SU(2).L as y m é t r i ee s ta p pe l é e
symétrie de jauge et le groupe SU(2) est le groupe de jauge. En général,
le groupe de jauge est un groupe de Lie compact. Le groupe de jauge de
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En déduire a
† a + I = A
2
et
A =
√
N +1 =
∞
n=0
|n
√
n +1n|
On a donc exp(iΦ) = A
−1 a.Montrerqueexp(iΦ) est identique à l’opérateur E
défini en (10.47), et n’est donc pas unitaire : Φ n’existe pas comme opérateur
hermitien.
2. Montrer que les opérateurs C et S définis par
C =
1
2
E + E
†
S =
1
2i
E − E
†
sont les analogues de cos φ et sin φ. Calculer les commutateurs [C, S], [C, N ],
[S, N ] et la somme C
2 + S
2
. Quelles inégalités de Heisenberg peut-on déduire
de ces commutateurs ?
3. Calculer les valeurs moyennes et les dispersions de C et S dans un état
cohérent |z, z = |z| exp(iθ).
10.4.6 Conservation du courant en présence d’un champ
magnétique
En utilisant l’équation de Schrödinger dans un champ magnétique, montrer
que le courant j (10.59) obéit à l’équation de continuité
∂ρ
∂t
+
∇· j =0
10.4.7 Transformations de jauge non abéliennes
Les interactions fondamentales (à l’exception de la gravitation) sont toutes
fondées sur les théories de jauge non abéliennes, que nous allons définir dans
un cas élémentaire en généralisant la transformation de jauge (10.58). En
omettant la dépendance par rapport au temps afin de simplifier la discussion,
nous allons supposer que la fonction d’onde ϕ( r) est un vecteur à deux composantes Φ( r)=[ ϕ 1 ( r),ϕ 2 ( r)] dans un espace de Hilbert complexe à deux
dimensions, et qu’il existe dans cet espace une opération de symétrie, dite de
symétrie interne, qui laisse la physique invariante,
Φ( r) → Φ
′ ( r)=ΩΦ ou ϕ
′
α =
2
β=1
Ω αβ ϕ β
généralisant (10.55). Ω est une matrice 2 × 2 unitaire et de déterminant unité,
ou en d’autres termes une matrice du groupe SU(2).L as y m é t r i ee s ta p pe l é e
symétrie de jauge et le groupe SU(2) est le groupe de jauge. En général,
le groupe de jauge est un groupe de Lie compact. Le groupe de jauge de