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Physique quantique : Fondements
avec
z(t)=i
t
0
dt
′
e
iωt
′ f (t
′ )
Le facteur de phase exp(iΦ) peut être ignoré, mais il est facile de le calculer
iΦ=−
1
2
t
0
dt
′
dt
′′ f (t
′ )f (t
′′ )e
−iω(t
′ −t
′′ ) ε(t
′ − t
′′ )
où ε(t) est la fonction signe de t : ε(t)=1si t>0, ε(t)=−1 si t<0. Vérifier
que le membre de droite de cette équation est bien un nombre imaginaire pur.
En déduire l’expression de ˜
U (t) sous la forme
˜
U(t)=e
iΦ e
−|z|
2 /2 e
a
† z(t) e
−az
∗ (t) = e
−Y e
a
† z(t) e
−az
∗ (t)
Y =
t
0
dt
′
t
0
dt
′′
e
−iω(t
′ −t
′′ ) f (t
′ )f (t
′′ )θ(t
′ − t
′′ )
(10.78)
où θ(t) est la fonction de Heaviside : θ(t)=1si t>0, θ(t)=0si t<0.D a n s
la suite du problème, on se servira de la forme (10.78) de ˜
U(t).
3. On examine le cas où l’état initial à t =0e s tu né t a tp r o p r e|n
de H 0 en supposant que la force agit seulement pendant un intervalle de
temps fini [t 1 ,t 2 ], et en choisissant d’observer l’oscillateur à un temps t>t 2 :
0 f (ω) de f (t)
˜
f (ω)=
∞
−∞
dt
′ e
iωt
′ f (t
′ )=
t2
t1
dt
′ e
iωt
′ f (t
′ )
Montrer que le résultat final pour ˜
U(t) est indépendant de t pour t>t 2
˜
U (t)=exp(iΦ) exp
ia
† ˜
f (ω
exp
ia ˜
f
∗ (ω
exp
−
1
2
| ˜
f (ω)|
2
(10.79)
Montrer que si l’oscillateur est dans son état fondamental au temps t =0,l e
vecteur d’état final est un état cohérent
˜
U (t)|0 = e
iΦ |i ˜
f (ω)
Montrer que la probabilité d’observer un état final |m est donnée par une loi
de Poisson (10.34)
p(m)=
| ˜
f (ω)|
2
m
exp
−| ˜
f (ω)|
2
m!
10.4.5 Opérateur de phase
1. Afin d’essayer de définir un opérateur de phase Φ, on écrit l’opérateur
d’annihilation a sous la forme d’une quasi-représentation module et phase
a = A e
iΦ
A = A
†