10. Oscillateur harmonique
373
10.4.4 Couplage à une force classique
Les états cohérents permettent de traiter simplement la version quantique
de l’oscillateur harmonique forcé. En mécanique classique élémentaire, l’action
d’une force externe F (t) sur un oscillateur harmonique
m¨ q(t)=−mω
2 q + F (t)
se traduit dans le hamiltonien par un couplage −qF (t) entre l’élongation q
et la force F (t). Dans la version quantique, au hamiltonien de l’oscillateur
harmonique simple (10.9) s’ajoute un terme de couplage −QF (t) entre l’élongation Q et la force externe F (t), que l’on appelle conventionnellement force
classique ou aussi source classique
W (t)=−Q
2mω
a + a
†
F (t)=−
a + a
†
f (t)
Dans cette expression, f (t) est un nombre ayant la dimension d’une fréquence.
Nous noterons H 0 le hamiltonien (10.9) de l’oscillateur harmonique simple et
H(t) le hamiltonien total
H(t)=H 0 + W (t)=H 0 −
a + a
†
f (t)
(10.76)
1. Le problème est très semblable à celui rencontré au § 8.5.3 (cf. (8.138)),
et nous pourrions tenter de le traiter par une méthode de perturbations. Cependant, il se trouve que l’on peut calculer exactement l’évolution temporelle
grâce à l’opérateur de déplacement D(z) (10.40). On commence par passer
dans le point de vue de l’interaction (§ 4.2.5). Montrer que
˜
W (t)=−
a e
−iωt + a
†
e
iωt
f (t)
et que l’opérateur d’évolution, dans ce point de vue, vérifie l’équation différentielle ( ˜
U (t)= ˜
U (t, 0))
i
d ˜
U(t)
dt
= −
a e
−iωt + a
† e
iωt
f (t) ˜
U (t)
˜
U (t =0)=I
2. On divise l’intervalle [0,t] en n intervalles infinitésimaux ∆t et on part
de
˜
U (t) = lim
∆t→0
n−1
j=0
e
−i∆t ˜
W (tj )/
Pour calculer ce produit, on utilise la propriété (10.42) de l’opérateur de déplacement avec z j = if (t j )exp[iωt j ].M o n t r e rq u e
˜
U(t)=e
iΦ exp
−
1
2
t
0
dt
′ dt
′′ f (t
′ )f (t
′′ )e
−iω(t
′ −t
′′ )
exp[z(t)a
† ]exp[−z
∗ (t)a]
(10.77)
373
10.4.4 Couplage à une force classique
Les états cohérents permettent de traiter simplement la version quantique
de l’oscillateur harmonique forcé. En mécanique classique élémentaire, l’action
d’une force externe F (t) sur un oscillateur harmonique
m¨ q(t)=−mω
2 q + F (t)
se traduit dans le hamiltonien par un couplage −qF (t) entre l’élongation q
et la force F (t). Dans la version quantique, au hamiltonien de l’oscillateur
harmonique simple (10.9) s’ajoute un terme de couplage −QF (t) entre l’élongation Q et la force externe F (t), que l’on appelle conventionnellement force
classique ou aussi source classique
W (t)=−Q
2mω
a + a
†
F (t)=−
a + a
†
f (t)
Dans cette expression, f (t) est un nombre ayant la dimension d’une fréquence.
Nous noterons H 0 le hamiltonien (10.9) de l’oscillateur harmonique simple et
H(t) le hamiltonien total
H(t)=H 0 + W (t)=H 0 −
a + a
†
f (t)
(10.76)
1. Le problème est très semblable à celui rencontré au § 8.5.3 (cf. (8.138)),
et nous pourrions tenter de le traiter par une méthode de perturbations. Cependant, il se trouve que l’on peut calculer exactement l’évolution temporelle
grâce à l’opérateur de déplacement D(z) (10.40). On commence par passer
dans le point de vue de l’interaction (§ 4.2.5). Montrer que
˜
W (t)=−
a e
−iωt + a
†
e
iωt
f (t)
et que l’opérateur d’évolution, dans ce point de vue, vérifie l’équation différentielle ( ˜
U (t)= ˜
U (t, 0))
i
d ˜
U(t)
dt
= −
a e
−iωt + a
† e
iωt
f (t) ˜
U (t)
˜
U (t =0)=I
2. On divise l’intervalle [0,t] en n intervalles infinitésimaux ∆t et on part
de
˜
U (t) = lim
∆t→0
n−1
j=0
e
−i∆t ˜
W (tj )/
Pour calculer ce produit, on utilise la propriété (10.42) de l’opérateur de déplacement avec z j = if (t j )exp[iωt j ].M o n t r e rq u e
˜
U(t)=e
iΦ exp
−
1
2
t
0
dt
′ dt
′′ f (t
′ )f (t
′′ )e
−iω(t
′ −t
′′ )
exp[z(t)a
† ]exp[−z
∗ (t)a]
(10.77)