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Physique quantique : Fondements
2. On se propose de rechercher les états |ϕ(t) tels que les valeurs moyennes
de a et de H aient des propriétés identiques aux propriétés classiques. En
premier lieu, si a(t)=ϕ(t)|a|ϕ(t),m o n t r e rq u e
i
d
dt
a(t)=ωa(t)
et a(t) vérifie donc la même équation différentielle (10.29) que z(t).O n
définit le nombre complexe z 0 par
z 0 = a(t =0)=ϕ(0)|a|ϕ(0)
et on aura donc comme solution de l’équation différentielle pour a(t)
a(t)=z 0 e
−iωt
3. La deuxième condition concerne la valeur moyenne du hamiltonien. On
exige, en suivant (10.30) et en ajoutant l’énergie de point zéro
ϕ(0)|H|ϕ(0) = ω
|z 0 |
2 +
1
2
ou, de façon équivalente
a
† a = ϕ(0)|a
† a|ϕ(0) = |z 0 |
2
Soit l’opérateur b(z 0 )=a − z 0 .M o n t r e rq u e
ϕ(0)|b
† (z 0 )b(z 0 )|ϕ(0) =0
et en déduire
a|ϕ(0) = z 0 |ϕ(0)
L’état |ϕ(0) est donc l’état cohérent |z 0 .
4. Fonction d’onde d’un état cohérent. Exprimer l’opérateur de déplacement D(z) (10.40) en fonction des opérateurs P et Q et calculer la fonction
d’onde ψ z (q)=q|z. Suggestion : écrire D(z) sous la forme
D(z)=f (z, z
∗ )exp[c(z − z
∗ )Q]e x p [ ic
′ (z + z
∗ )P ]
déterminer les constantes c et c
′ et utiliser le fait que P est le générateur
infinitésimal des translations (cf. § 8.1.1)
exp
−i
Pl
|q = |q + l
Exprimer ψ z (q) en fonction de la fonction d’onde ϕ 0 (q) (10.23) de l’état fondamental.
5. Montrer qu’un opérateur A est entièrement déterminé par ses “éléments
diagonaux” z|A|z. Suggestion : utiliser
z|A|z = e
−|z|
2
n,m
A nm z
n z
∗m
√
n!m!