10. Oscillateur harmonique
371
physiques supplémentaires compatibles et indépendantes. La démonstration
suit le même canevas que celle donnée pour l’oscillateur harmonique simple
(exercice 10.4.2).
Il n’est pas difficile de généraliser au cas d’un mouvement à trois dimensions. En effet, comme A z =0 , il suffit de rajouter au hamiltonien un terme
en P
2
z /(2m) dont les valeurs propres sont p
2
z /(2m). L’énergie totale est une
fonction de n et de p z
E n,pz = ω
n +
1
2
+
p
2
z
2m
(10.74)
Si le mouvement vertical de la particule est limité par 0 ≤ z ≤ L z ,l en o m b r e
de niveaux de Landau dans [p z ,p z +∆p z ] est
g =
L z
2π
|q|B
2π
S ∆p z
(10.75)
10.4 Exercices
10.4.1 Éléments de matrice de Q et de P
1. Calculer les éléments de matrice n|Q|m et n|P |m des opérateurs Q
et P dans la base |n.
2. Calculer la valeur moyenne n|Q
4 |n de Q
4 dans l’état |n. Suggestion :
calculer
|ϕ n =
a + a
† 2 |n
et ||ϕ n ||
2 .
10.4.2 Propriétés mathématiques
1. Montrer les relations de commutation
[N, a
p ]=−pa
p et [N, a
†p ]=pa
†p
En déduire que les seules fonctions de a et de a
† qui commutent avec N sont
des fonctions de N , et que les valeurs propres de N sont non dégénérées.
2. Soit H
′ , le sous espace de H sous-tendu par les vecteurs |n et H
′
⊥ ,
l’espace orthogonal : H = H
′ ⊕H
′
⊥ . On appelle P
′ le projecteur sur H
′ .
Montrer que P
′ commute avec a et a
† et en déduire, en utilisant le théorème
de von Neumann du § 7.3.2, que soit P
′ =0 ,s o i tP
′ = I.L ap r e m i è r e
éventualité étant exclue, P
′ = I et les vecteurs |n forment une base de H.
10.4.3 États cohérents
1. Calculer z|P
2 |z et z|H
2 |z et en déduire les dispersions (10.39).
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physiques supplémentaires compatibles et indépendantes. La démonstration
suit le même canevas que celle donnée pour l’oscillateur harmonique simple
(exercice 10.4.2).
Il n’est pas difficile de généraliser au cas d’un mouvement à trois dimensions. En effet, comme A z =0 , il suffit de rajouter au hamiltonien un terme
en P
2
z /(2m) dont les valeurs propres sont p
2
z /(2m). L’énergie totale est une
fonction de n et de p z
E n,pz = ω
n +
1
2
+
p
2
z
2m
(10.74)
Si le mouvement vertical de la particule est limité par 0 ≤ z ≤ L z ,l en o m b r e
de niveaux de Landau dans [p z ,p z +∆p z ] est
g =
L z
2π
|q|B
2π
S ∆p z
(10.75)
10.4 Exercices
10.4.1 Éléments de matrice de Q et de P
1. Calculer les éléments de matrice n|Q|m et n|P |m des opérateurs Q
et P dans la base |n.
2. Calculer la valeur moyenne n|Q
4 |n de Q
4 dans l’état |n. Suggestion :
calculer
|ϕ n =
a + a
† 2 |n
et ||ϕ n ||
2 .
10.4.2 Propriétés mathématiques
1. Montrer les relations de commutation
[N, a
p ]=−pa
p et [N, a
†p ]=pa
†p
En déduire que les seules fonctions de a et de a
† qui commutent avec N sont
des fonctions de N , et que les valeurs propres de N sont non dégénérées.
2. Soit H
′ , le sous espace de H sous-tendu par les vecteurs |n et H
′
⊥ ,
l’espace orthogonal : H = H
′ ⊕H
′
⊥ . On appelle P
′ le projecteur sur H
′ .
Montrer que P
′ commute avec a et a
† et en déduire, en utilisant le théorème
de von Neumann du § 7.3.2, que soit P
′ =0 ,s o i tP
′ = I.L ap r e m i è r e
éventualité étant exclue, P
′ = I et les vecteurs |n forment une base de H.
10.4.3 États cohérents
1. Calculer z|P
2 |z et z|H
2 |z et en déduire les dispersions (10.39).