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Physique quantique : Fondements
La deuxième caractéristique du mouvement est la position du centre du cercle.
Suivant (10.63), on définit les opérateurs X 0 et Y 0 par
X 0 = X −
1
ω
˙
YY 0 = Y +
1
ω
˙
X
(10.70)
Compte tenu de [X, ˙
X]=[ Y, ˙
Y ]=iI/m et de (10.65), le commutateur
[X 0 ,Y 0 ] vaut
[X 0 ,Y 0 ]=
i
mω
I
On vérifie immédiatement que
[X 0 , ˙
X]=[X 0 , ˙
Y ]=[Y 0 , ˙
X]=[Y 0 , ˙
Y ]=0
et donc que [H, X 0 ]=[H, Y 0 ]=0.L ’ o p é r a t e u rR
2
0
R
2
0 = X
2
0 + Y
2
0
(10.71)
commute avec R
2
: R
2
et R
2
0 sont hermitiens et simultanément diagonalisables.
Posant
ˆ
Q 0 =
mω
X 0
ˆ
P 0 =
mω
Y 0
conduit à
R
2
0 =
mω
ˆ
Q
2
0 + ˆ
P
2
0
et les valeurs propres r
2
0 de R
2
0 sont
r
2
0 =
2
mω
p +
1
2
p =0, 1, 2, ...
(10.72)
Nous avons retrouvé les deux oscillateurs harmoniques ; le premier donne la
valeur n du niveau de Landau, c’est-à-dire le rayon de l’orbite, et le second
la position du centre de l’orbite. Supposons que la particule se trouve dans le
plan à l’intérieur d’un cercle de rayon r 0 et que ρ
2 ≪ r
2
0 ;l esv al eu rsd ep sont
alors limitées par
p ≤
mω
2
r
2
0 =
mω
2π
S
où S = πr
2
0 est l’aire du cercle. La dégénérescence g d’un niveau de Landau
n est donnée par le nombre de valeurs possibles de p
g =
mω
2π
S =
|q|B
2π
S
(10.73)
Il faut multiplier ce résultat par un facteur 2 si l’on veut tenir compte du
spin. En toute rigueur, il faudrait s’assurer qu’il n’y a pas de dégénérescence
supplémentaire, en montrant que tout opérateur commutant avec H (ou R
2
)
et R
2
0 est une fonction de H et de R
2
0 : on ne peut pas trouver de propriétés
Physique quantique : Fondements
La deuxième caractéristique du mouvement est la position du centre du cercle.
Suivant (10.63), on définit les opérateurs X 0 et Y 0 par
X 0 = X −
1
ω
˙
YY 0 = Y +
1
ω
˙
X
(10.70)
Compte tenu de [X, ˙
X]=[ Y, ˙
Y ]=iI/m et de (10.65), le commutateur
[X 0 ,Y 0 ] vaut
[X 0 ,Y 0 ]=
i
mω
I
On vérifie immédiatement que
[X 0 , ˙
X]=[X 0 , ˙
Y ]=[Y 0 , ˙
X]=[Y 0 , ˙
Y ]=0
et donc que [H, X 0 ]=[H, Y 0 ]=0.L ’ o p é r a t e u rR
2
0
R
2
0 = X
2
0 + Y
2
0
(10.71)
commute avec R
2
: R
2
et R
2
0 sont hermitiens et simultanément diagonalisables.
Posant
ˆ
Q 0 =
mω
X 0
ˆ
P 0 =
mω
Y 0
conduit à
R
2
0 =
mω
ˆ
Q
2
0 + ˆ
P
2
0
et les valeurs propres r
2
0 de R
2
0 sont
r
2
0 =
2
mω
p +
1
2
p =0, 1, 2, ...
(10.72)
Nous avons retrouvé les deux oscillateurs harmoniques ; le premier donne la
valeur n du niveau de Landau, c’est-à-dire le rayon de l’orbite, et le second
la position du centre de l’orbite. Supposons que la particule se trouve dans le
plan à l’intérieur d’un cercle de rayon r 0 et que ρ
2 ≪ r
2
0 ;l esv al eu rsd ep sont
alors limitées par
p ≤
mω
2
r
2
0 =
mω
2π
S
où S = πr
2
0 est l’aire du cercle. La dégénérescence g d’un niveau de Landau
n est donnée par le nombre de valeurs possibles de p
g =
mω
2π
S =
|q|B
2π
S
(10.73)
Il faut multiplier ce résultat par un facteur 2 si l’on veut tenir compte du
spin. En toute rigueur, il faudrait s’assurer qu’il n’y a pas de dégénérescence
supplémentaire, en montrant que tout opérateur commutant avec H (ou R
2
)
et R
2
0 est une fonction de H et de R
2
0 : on ne peut pas trouver de propriétés